3차원 공간의 반지름이 1인 구 위에서 동일한 확률분포에서 독립적으로 두 점 $X$, $Y$를 뽑기로 한다. 이 두 점 사이의 (유클리드) 거리의 기대값이 최대가 되려면 $X$의 분포는 어떠해야 하는가?
카테고리 보관물: 확률(대학)
2014 제75회 William Lowell Putnam 수학경시대회 A4
음아닌 정수값만 갖는 확률변수 $X$가 $E[X]=1$, $E[X^2]=2$, $E[X^3]=5$를 만족시킨다고 하자. (여기서 $E[Y]$는 확률변수 $Y$의 기대값을 뜻한다.) 이때 $X=0$이 될 확률로 가능한 최솟값을 구하여라.
2014 Miklós Schweitzer 수학경시대회 11번문제
폐구간 $[0,1]$에서 균일 분포인 확률변수 $U$에 대해 \[ S_n=2 \sum_{k=1}^n \sin (2k U\pi)\]라 하자. 이때 $n\to \infty$로 갈 때, $S_n$의 분포는 확률 밀도 함수가 $f(x)=\frac{1}{\pi(1+x^2)}$인 코시 분포임을 보여라.
2013 제74회 William Lowell Putnam 수학경시대회 B4
폐구간 $[0,1]$에서 정의된 연속인 실함수 $f$에 대해 \[ \mu(f)=\int_0^1 f(x)\, dx, \operatorname{Var}(f)=\int_0^1 \left(f(x)-\mu(f)\right)^2\, dx, M(f)=\max_{0\le x\le 1} \lvert f(x)\rvert\]로 정의하자. 이때 폐구간 $[0,1]$에서 정의된 두 연속인 실함수 $f$, $g$에 대해 \[ \operatorname{Var}(fg)\le 2\operatorname{Var}(f) M(g)^2+2\operatorname{Var}(g) M(f)^2\]임을 증명하라.
2013 Miklós Schweitzer 수학경시대회 12번문제
가방 안에 토큰이 $n$개가 있다. 하나 이상의 토큰은 흰색이고 나머지는 검정색이다. 가방에서 토큰을 하나씩 임의로 뽑되 뽑은 것은 다시 넣지 않는다고 하자. $i$번째 토큰을 뽑기 직전 가방에 있는 흰색 토큰의 비율을 $X_i$라 하고 \[T=\max \{ \lvert X_i-X_j\rvert : 1\le i\le j\le n\}\]이라 하자. 이때 $\mathbb E(T)\le H(\mathbb E(X_1))$임을 증명하라. (단, $H(x)=-x\ln x-(1-x)\ln (1-x)$이다.)