2014년 4월 12일-13일.
하루 4시간 30분, 3문제씩 이틀.
문제 출처: 1일차, 2일차
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$a$, $b$, $c$가 어떤 삼각형의 세 변의 길이라면 항상 $a^2+bct$, $b^2+cat$, $c^2+abt$ 또한 삼각형의 세 변의 길이가 되도록 하는 모든 실수 $t$를 구하여라.
삼각형 $ABC$의 변 $AB$와 점 $D$와 $AC$위의 점 $E$가 $DB=BC=CE$를 만족한다고 하자. 직선 $CD$와 $BE$의 교점을 $F$라 하자. 이때 삼각형 $ABC$의 내심 $I$와 삼각형 $DEF$의 수심 $H$, 삼각형 $ABC$의 외접원의 일부인 호 $BAC$의 중점 $M$은 한 직선 위에 있음을 증명하라.
양의 정수 $m$의 양의 약수의 수를 $d(m)$이라 하고, 서로 다른 소수인 약수의 수를 $\omega(m)$이라 하자. 양의 정수 $k$가 주어져있다. 이때 $a+b=n$인 임의의 두 양의 정수 $a$, $b$에 대해 $d(a^2+b^2)$이 $d(n)$의 배수가 아니면서 $\omega(n)=k$가 되는 무한히 많은 양의 정수 $n$이 존재함을 보여라.
모든 정수 $n\ge 2$에 대해 다음 조건을 만족시키는 정수 $x_1,x_2,\ldots,x_{n-1}$이 존재함을 보여라.
$0\lt i\lt n, 0\lt j\lt n, i\neq j$이고 $2i+j$가 $n$의 배수이면 $x_i\lt x_j$이다.
양의 정수 $n$이 주어져있다. 총 $n$개의 상자 각각에 음아닌 정수개만큼의 바둑알이 있다. 어떤 상자를 골라 그 상자 안에 있는 두 개의 바둑알을 꺼내어 하나는 버리고 다른 하나는 다른 원하는 상자에 넣는 것을 하나의 시행이라 하자. 바둑알이 상자에 처음 주어진 초기 상황에서 0번 이상의 유한번 시행을 거쳐 빈 상자가 없게 만들 수 있으면 그것을 좋은 상황이라고 하자. 어느 상자에라도 바둑알을 하나만 더 넣으면 좋은 상황이 되는 좋지 않은 초기 상황을 모두 구하라.
모든 실수 $x$, $y$에 대해 \[ f(y^2+2x f(y)+f(x)^2)=(y+f(x))(x+f(y))\]를 만족시키는 함수 $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$을 모두 구하여라.