양의 정수 $k$가 주어져있다. 무한히 펼쳐진 평면이 같은 크기의 정육각형 칸으로 가득 채워져있는 게임판 위에서 두 사람 $A$, $B$가 아래와 같은 게임을 한다. 처음에는 모든 칸이 비워져있다. $A$부터 시작해서 돌아가면서 자기 차례가 되면 $A$는 비어있는 이웃한 두 칸을 골라서 돌을 하나씩 넣을 수 있으며, $B$는 게임판 위의 아무 돌이나 골라 제거할 수 있다. 어느 순간이라도 한 직선 위에 있는 연속한 $k$개의 칸 각각에 돌이 있으면 $A$가 이긴다. 이때, $A$가 유한번 게임에 참여해서는 이길 수 없게 하는 최소의 $k$값을 구하거나, 그러한 $k$ 값이 존재하지 않음을 증명하라.

칠판에 $0$이 아닌 정수의 순서쌍 $68$개가 적혀있다. 임의의 양의 정수 $k$에 대해 칠판에는 $(k,k)$와 $(-k,-k)$ 중 많아야 하나만 적혀있다고 한다. 학생은 칠판에서 $136$개의 정수 중 일부를 지울 수 있는데 지울 수 어느 둘을 더해도 그 합은 $0$이 되면 안 되게 해야 한다. $68$개의 순서쌍 중 적어도 하나의 수가 지워진 순서쌍의 수만큼 학생이 점수를 얻는다. 처음에 칠판에 어떻게 적혀있더라고 학생이 항상 $N$점 이상을 얻을 수 있다고 할 때 가능한 $N$의 최대값을 구하여라.

칠판에 음이 아닌 세 실수 $r_1$, $r_2$, $r_3$가 적혀있다. 이 세 수들끼리는 $a_1r_1+a_2r_2+a_3r_3=0$이 성립하게 하는 동시에 $0$은 아닌 세 정수 $a_1$, $a_2$, $a_3$이 존재한다는 성질이 만족된다. 칠판에 적힌 수에 대해 다음과 같은 시행을 할 수 있다: 칠판에 적힌 두 수 $x$, $y$를 $x\le y$이게 고른 후 $y$를 칠판에서 지우고 그 자리에 $y-x$를 적는다. 이때 이 시행을 유한번 적당히 반복해서 칠판에 $0$이 적어도 하나 이상 나타나게 할 수 있음을 증명하라.

$6 \times 6$ 격자판에서 경미와 남훈이가 어떤 게임을 한다. 각 선수는 자기 차례가 되면 아직 격자판에 나타나지 않은 유리수를 하나 골라 격자판의 남은 빈칸 중 하나에 그 수를 쓴다. 모든 칸에 수가 채워졌으면 각각의 행에서 가장 큰 수가 쓰여진 칸을 검게 칠한다. 그래서 판의 꼭대기에서 밑바닥까지 검은 칸만을 지나는(꼭지점은 지나도 된다) 곡선을 그릴 수 있으면 경미가 이기고, 그렇지 못하면 남훈이가 이긴다. 누구에게 필승의 전략이 있는지 찾고, 그것을 증명하여라.