다음 극한값을 계산하여라. \[ \lim_{n\to\infty}\left(  \frac{1}{n!} \right)^{\frac{1}{n\log n}}.\]

모든 항이 실수인 수열 $\{a_n\}$과 $\{b_n\}$은 \[\lim_{n\to\infty} (a_n+b_n)=0,\quad \lim_{n\to\infty} (e^{a_n}+e^{b_n})=2\]를 만족한다. 수열 $\{a_n\}$이 수렴함을 보여라.

단조증가하는 함수 $f:[1,\infty)\to[1,\infty)$는 임의의 $x$에 대하여 다음 조건을 만족한다. \[ f(x)^2\le f(4x)\le 2013^{\sqrt{x}}.\] 이 때, 극한값 $\lim_{x\to\infty} \frac{\log\log f(x)}{\log x}$를 구하여라.
(2013년 10월 5일 10:00-13:00)

다음 극한값\[L=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{j}{j^2}{k^2}\]을 이중적분으로 표현하고 그 값을 구하여라.
(1997년 10월 12일, 출처)

수열 $\{a_n\}$을 다음과 같이 정의하자: $a_1=1$이고 양의 정수 $n\ge 1$에 대해 $a_{n+1}=3-\frac{a_n+2}{2^{a_n}}$이다.
이때 $a_n$이 $n$이 커질 때 수렴함을 보이고 그 극한값을 구하라.
(5점, 2013년 1월 11일, 총 180분)