원에 내접하며 원의 중심이 내부에 있는 볼록다각형 $A_1A_2\ldots A_n$이 있다. 변 $A_1A_2$, $A_2A_3$, $\ldots$, $A_nA_1$에 꼭지점과 겹치지 않게 각각 점 $B_1$, $B_2$, $\ldots$, $B_n$을 임의로 잡았을 때 부등식 \[\frac{B_1B_2}{A_1A_3}+\frac{B_2B_3}{A_2A_4}+\cdots+\frac{B_nB_1}{A_nA_2}>1\]임을 보여라.
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2016 루마니아 수학 마스터 5번문제
볼록육각형 $A_1B_1A_2B_2A_3B_3$이 반지름 $R$인 원 $\Omega$에 내접한다고 하자. 세 대각선 $A_1B_2$, $A_2B_3$, $A_3B_1$이 점 $X$에서 만난다고 하자. 모든 $i=1,2,3$에 대해 두 선분 $XA_i$, $XB_i$와 접하면서 $\Omega$의 호 $A_iB_i$에 모두 접하는 원을 $\omega_i$라 하며, 이 원 $\omega_i$의 반지름을 $r_i$이라 하자.
(a) $R\ge r_1+r_2+r_3$임을 증명하라.
(b) 만일 $R=r_1+r_2+r_3$이면, $\omega_1$, $\omega_2$, $\omega_3$가 대각선 $A_1B_2$, $A_2B_3$, $A_3B_1$과 만나는 점 $6$개는 한 원 위에 있음을 보여라.
1999 미국수학올림피아드 2번문제
원에 내접하는 사각형 $ABCD$에 대해 다음을 증명하여라.\[ |AB – CD| + |AD – BC| \geq 2|AC – BD|\]
1985 미국수학올림피아드 3번문제
공간 상의 네 점 $A$, $B$, $C$, $D$에 대해, 거리 $AB$, $AC$, $AD$, $BC$, $BD$, $CD$ 중 기껏해야 하나가 1보다 크다고 한다. 이 여섯 거리의 합의 최대값을 구하여라.
1984 미국수학올림피아드 3번문제
주어진 예각 $\theta$에 대해, 3차원 공간의 다섯 점 $P$, $A$, $B$, $C$, $D$는 $\angle APB = \angle BPC = \angle CPD = \angle DPA = \theta$ 를 만족한다. $\angle APC + \angle BPD$ 의 최대값과 최소값을 구하여라.
1981 미국수학올림피아드 3번문제
$A$, $B$, $C$가 삼각형의 세 각일 때 다음 부등식을 증명하고 등호가 성립할 조건을 구하여라.\[ -2 \leq \sin 3A + \sin 3B + \sin 3C \leq \frac{3\sqrt3}2\]