삼각형 $ABC$의 변 $BC$, $CA$, $AB$ 위에 각각 점 $P$, $Q$, $R$이 있다. 삼각형 $AQR$, $BRP$, $CPQ$의 외접원을 각각 $\omega_A$, $\omega_B$, $\omega_C$라 하자. 선분 $AP$가 원 $\omega_A$, $\omega_B$, $\omega_C$와 만나는 점을 각각 $X$, $Y$, $Z$라 할 때, \[ \frac{YX}{XZ}=\frac{BP}{PC}\]임을 증명하라.
(2013년 4월 30일, 4시간 30분, 출처)
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2013 미국수학올림피아드 6번문제
삼각형 $ABC$의 변 $BC$위에서 아래 조건을 만족시키는 점 $P$를 모두 찾으시오: 삼각형 $PAB$와 $PAC$의 외접원과 동시에 외접하는 두 직선과 직선 $PA$의 교점을 각각 $X$, $Y$라 하면, \[ \left(\frac{PA}{XY}\right)^2+\frac{PB\cdot PC}{AB\cdot AC}=1\]이다.
(2013년 5월 1일, 4시간 30분, 출처)
2013 제5회 베네룩스수학올림피아드 3번문제
원 $\Gamma$에 내접한 삼각형 $ABC$가 있고 $I$를 삼각형 $ABC$의 내접원의 중심이라 하자. 직선 $AI$, $BI$, $CI$가 원 $\Gamma$와 각각 $D(\neq A)$, $E(\neq B)$, $F(\neq C)$에서 만난다고 하자. 원 $\Gamma$의 점 $F$, $D$, $E$에서의 접선들이 각각 직선 $AI$, $BI$, $CI$와 만나는 점을 각각 $R$, $S$, $T$라 하자. 이때 \[ AR \cdot BS \cdot CT = ID \cdot IE\cdot IF\]임을 보여라.
(2013년 4월 27일, 4시간 30분, 네덜란드 도르드레흐트, 출처)
2013 제26회 한국수학올림피아드 최종시험 1번문제
삼각형 $ABC$가 $\angle B \gt \angle C$를 만족하고, 변 $AC$ 위의 점 $D$는 $\angle ABD=\angle C$를 만족한다. 삼각형 $ABC$의 내심을 $I$라고 할 때, 삼각형 $CDI$의 외접원과 직선 $AI$의 교점 $E$($\neq I$)를 지나고 $AB$에 평행한 직선이 직선 $BD$와 만나는 점을 $P$라 하자. 삼각형 $ABD$의 내심을 $J$, $A$의 $I$에 대한 대칭점을 $A’$이라 하고 직선 $JP$와 직선 $A’C$가 점 $Q$에서 만날 때, $QJ=QA’$임을 보여라.
(2013년 3월 23일, 4시간 30분)
2008 제21회 한국수학올림피아드 최종시험 1번문제
원 $O$에 내접하는 육각형 $ABCDEF$에 대하여, 선분 $BD$와 $CF$의 교점을 $G$, 선분 $AC$와 $BE$의 교점을 $H$, 선분 $AD$와 $CE$의 교점을 $I$라 하자. 선분 $BD$와 $CF$가 서로 직교하고, $CI=AI$일 때, 두 조건 $CH=AH+DE$와 $GH\cdot BD=BC\cdot DE$가 서로 필요충분조건임을 보여라.
(2008년 3월 22일, 출처4시간 30분)
2007 제20회 한국수학올림피아드 최종시험 1번문제
예각삼각형 $ABC$의 외접원 $O$에 대하여, 원 $O$와 점 $A$에서 접하고, 변 $BC$에 접하는 원을 $O’$이라 하자. 원 $O’$이 $BC$에 접하는 점을 $D$라고 하고, 직선 $AB$와 $AC$가 원 $O’$과 만나는 점을 각각 $E$와 $F$라 하자. 직선 $OO’$과 원 $O’$의 교점을 $A'(\neq A)$이라 하고, 직선 $EO’$과 원 $O’$의 교점을 $G(\neq E)$, 두 직선 $BO$ 와 $A’G$의 교점을 $H$라고 할 때,\[DF^2=AF\cdot GH \]가 성립함을 보여라.
(2007년 3월 24일, 4시간 30분, 3문제, 출처)