예각삼각형 $ABC$에서 점 $A$, $B$, $C$에서 맞은 편 변으로 내린 수선의 발을 각각 $D$, $E$, $F$라 하자. 삼각형 $AEF$와 $BDF$의 내심을 각각 $I_1$, $I_2$라 하자. 삼각형 $ACI_1$과 $BCI_2$의 외심을 각각 $O_1$, $O_2$라 하자. 이때 직선 $O_1O_2$와 $I_1I_2$는 평행함을 보여라.
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2013 제26회 한국수학올림피아드 최종시험 1번문제
삼각형 $ABC$가 $\angle B \gt \angle C$를 만족하고, 변 $AC$ 위의 점 $D$는 $\angle ABD=\angle C$를 만족한다. 삼각형 $ABC$의 내심을 $I$라고 할 때, 삼각형 $CDI$의 외접원과 직선 $AI$의 교점 $E$($\neq I$)를 지나고 $AB$에 평행한 직선이 직선 $BD$와 만나는 점을 $P$라 하자. 삼각형 $ABD$의 내심을 $J$, $A$의 $I$에 대한 대칭점을 $A’$이라 하고 직선 $JP$와 직선 $A’C$가 점 $Q$에서 만날 때, $QJ=QA’$임을 보여라.
(2013년 3월 23일, 4시간 30분)
2013 인도수학올림피아드 5번문제
직각삼각형 $ABC$의 내심을 $O$, 무게중심을 $G$, 수심을 $H$라 하자. 변 $BC$, 변 $CA$위에 각각 점 $D$, $E$를 잡되 $OD$와 $BC$가 수직으로 만나고 $HE$와 $CA$가 수직으로 만나게 하였다고 한다. 변 $AB$의 중점을 $F$라 하자. 삼각형 $ODC$, $HEA$, $GFB$의 넓이가 모두 같다면, 가능한 $\angle C$의 값을 모두 구하여라.
(2013년 2월 3일, 출처)
2012 이란 TST 시험1 첫째날 2번문제
예각삼각형 $ABC$의 외접원을 $O$라 하자. 원호 $BAC$의 중점을 $D$라 하고, 삼각형 $ABC$의 내심을 $I$라 하자. 직선 $DI$와 $BC$가 만나는 점을 $E$라 하고, 직선 $DI$와 원 $O$가 만나는 $D$ 아닌 점을 $F$라 하자. 직선 $PE$와 $AI$가 평행하도록 점 $P$를 직선 $AF$ 위에 잡자. 이때 직선 $PE$는 각 $BPC$를 각이등분선임을 보여라.
2012 중국여자수학올림피아드 5번문제
2011 중국여자수학올림피아드 둘째날 4번문제
삼각형 $ABC$의 방접원 중 변 $BC$와 점 $M$에서 만나는 방점원의 중심을 $O$라 하자. 변 $AB$와 변 $AC$위에 각각 점 $D$, $E$를 잘 잡아서 $DE$가 $BC$에 평행하게 하자. 삼각형 $ADE$의 내접원의 중심을 $O_1$, 이 내접원이 $DE$에 만나는 점을 $N$이라 하자. 그리고 직선 $BO_1$과 직선 $DO$가 만나는 점을 $F$, 직선 $CO_1$과 직선 $EO$가 만나는 점을 $G$라 하자. 이때 $FG$의 중점은 직선 $MN$ 위에 있음을 증명하라.