다음 조건을 만족하는 실수 계수 다항식 $p(x)$를 모두 찾아라: 모든 양의 정수 $n$에 대하여\[ p(1)+p(2)+p(3)+\cdots+p(n)=p(n)q(n)\]이 성립하는 실수 계수 다항식 $q(x)$가 존재한다.
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2016 발칸수학올림피아드 3번문제
최고차항의 계수가 1인 다항식 $f$ 중 다음 조건을 만족시키는 것을 모두 구하라. $N$보다 큰 모든 소수 $p$에 대해 $f(p)$가 양의 정수이면 $2(f(p)!)+1$이 $p$의 배수가 될 양의 정수 $N$이 존재한다.
2017 루마니아 수학 마스터 2번문제
다음 조건을 만족하는 모든 양의 정수 $n$을 구하여라.
(조건) 차수가 $n$ 이하인 임의의 정수계수 모닉다항식 $P$에 대해, \[P(x_1) + P(x_2) + \cdots + P(x_k) = P(x_{k+1})\]을 만족하는 어떤 양의 정수 $k\leq n$와 $k+1$개의 서로 다른 정수 $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_{k+1}$이 존재한다.
단, 모닉다항식이란 최고차항의 계수가 1인 다항식이다.
1995 미국수학올림피아드 4번문제
$q_0, q_1, q_2, \dots$ 는 다음 두 조건을 만족하는 정수들의 무한수열이다.
(i) $m > n \geq 0$ 에 대해, $m-n$ 은 $q_m-q_n$ 을 나눈다.
(ii) 모든 $n$에 대하여 $|q_n| < P(n)$ 을 만족하는 다항식 $P$가 존재한다.
모든 $n$에 대하여 $q_n = Q(n)$ 인 다항식 $Q$가 존재함을 증명하여라.
1988 미국수학올림피아드 2번문제
실계수 3차방정식 $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ 이 세 실근을 갖는다. $a^2 – 3b \geq 0$ 이고 $\sqrt{a^2 – 3b}$ 은 최대근과 최소근의 차보다 크지 않음을 증명하여라.
1983 미국수학올림피아드 2번문제
$2a^2 < 5b$ 이면 다음 방정식의 근이 모두 실근일 수 없음을 증명하여라. \[ x^5 + ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0\]