다음 식을 만족하는 정수 $x$, $y$를 모두 구하여라. \[ x^2+xy+y^2=\left( \frac{x+y}{3}+1\right)^3.\]
태그 보관물: 디오판토스방정식
1996 아일랜드 수학올림피아드 8번문제
$p$는 소수이고 $a$와 $n$은 $2^p + 3^p = a^n$을 만족하는 자연수이다. $n=1$ 임을 증명하여라.
1995 아일랜드 수학올림피아드 2번문제
$a$는 정수이다. 방정식\[ x^2 + axy + y^2 = 1\]이 무한히 많은 서로 다른 정수해 $(x,y)$를 갖도록 하는 $a$를 모두 구하고 그것을 증명하여라.
2013 Miklós Schweitzer 수학경시대회 2번문제
다음 방정식 \[ a^{2n}+b^{4n}+2013=ka^n b^{2n}\]이 모든 정수 $k\ge k_0$에 대해 양의 정수해 $(a,b,n)$이 존재하지 않게 하는 $k_0$가 존재함을 증명하라.
1998 제11회 한국수학올림피아드 최종시험 1번문제
$(\ell+m+n)\left( \frac1\ell +\frac1m+\frac1n\right)$이 자연수이고, $\ell$, $m$과 $m$, $n$과 $n$, $\ell$이 각각 서로 소인 세 자연수 $\ell$, $m$, $n$을 모두 구하라.
2013 제32회 전국 대학생 수학경시대회 5번문제
집합 $S$를 다음과 같이 정의하자. \[ S=\{n\in\mathbb{Z}:2x^2+xy+4y^2=n\text{인 정수 $x,y$가 존재한다}\}.\]
(1) 임의의 $m\in S$에 대하여 $2m\in S$임을 보여라.
(2) 임의의 $m,n\in S$에 대하여 $mn\in S$임을 보여라.
(2013년 10월 5일 10:00-13:00)