$\pm1$만으로 이루어진 수열 $a_1, \ldots, a_n$이 $a_1a_2 + a_2a_3 + \cdots + a_{n-1}a_n + a_na_1 = 0$ 을 만족한다. $n$이 4의 배수임을 증명하여라.
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2012 국제수학올림피아드 Short List N6
양의 정수 $x$, $y$가 있다. 모든 양의 정수 $n$에 대해 $x^{2^n}-1$이 $2^n y+1$의 배수라면 $x=1$임을 보여라.
2013 루마니아 TST2 1번문제
임의의 양의 정수 $n$에 대해 $\lfloor na\rfloor$가 $\lfloor nb\rfloor$의 약수가 되게 하는 서로 다른 양의 실수 $a$, $b$가 있다고 하자. 이때 $a$, $b$ 둘 다 정수임을 증명하라. 단, $\lfloor x\rfloor $는 $x$보다 크지 않은 가장 큰 정수이다.
(출처)
2013 이란 TST 5번문제
아래 조건을 만족하는 양의 정수 $a$, $b$, $c$가 존재하는가?
$a^2+b^2+c^2$이 $2013(ab+bc+ca)$의 배수이다.
(2013년, 출처)
2013 제26회 한국수학올림피아드 최종시험 5번문제
서로 소인 양의 정수 $a$, $b$가 주어져 있다. 정수 수열 $(a_n)$과 $(b_n)$은
\[ (a+b\sqrt 2)^{2n}=a_n+b_n \sqrt 2\]를 만족하는 수열이라고 하자. 다음 조건을 만족하는 소수 $p$를 모두 구하여라:
(조건) 정수 $b_n$이 $p$의 배수가 되는 $p$ 이하의 양의 정수 $n$이 존재한다.
(2013년 3월 24일, 4시간 30분)
2013 아시아태평양수학올림피아드 2번문제
$\frac{n^2+1}{[\sqrt{n}]^2+2}$이 정수가 되는 양의 정수 $n$을 모두 구하여라. 단 $[r]$은 $r$보다 크지 않은 최대의 정수이다.
(2013년 3월 12일, 4시간, 출처)