집합 $\mathbb Z$와 $\mathbb Q$를 각각 정수의 집합과 유리수의 집합이라 하자.
a) 집합 $\mathbb Z$를 세 개의 공집합이 아닌 집합 $A$, $B$, $C$로 나눠서 $A+B$, $B+C$, $C+A$가 서로 겹치지 않게 할 수 있는가?
b) 집합 $\mathbb Q$를 세 개의 공집합이 아닌 집합 $A$, $B$, $C$로 나눠서 $A+B$, $B+C$, $C+A$가 서로 겹치지 않게 할 수 있는가?
단 두 집합 $X,Y\subseteq \mathbb Q$에 대해 $X+Y$란 집합 $\{x+y: x\in X, y\in Y\}$를 뜻한다.
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2013 유럽여학생수학올림피아드 2번문제
가로 $m$칸 세로 $m$칸 바둑판 모양의 정사각형을 직사각형 $5$개로 잘 나누면 직사각형의 변의 길이로 $1$, $2$, $3$, $\ldots$, $10$이 모두 나타난다고 한다. 가능한 모든 양의 정수 $m$을 구하여라.
(2013년 4월 10일 룩셈부르크, 4시간 30분, 출처)
2011 국제수학올림피아드 Short List C4
다음 조건을 만족하는 가장 큰 양의 정수 $k$를 구하여라. 양의 정수의 집합을 $k$개의 집합 $A_1,A_2,\ldots,A_k$로 잘 나누면 모든 양의 정수 $n\ge 15$와 모든 $i\in \{1,2,\ldots,k\}$에 대해 합이 정확히 $n$이 되는 $A_i$의 서로 다른 두 원소가 반드시 존재하게 할 수 있다.
(출처)
2012 국제대학생수학경시대회(IMC) 첫째날 1번문제
양의 정수 $n$에 대하여 $p(n)$을 $n$을 양의 정수의 합으로 나타내는 방법의 수라 하자. 예를 들어 \[ 4=3+1=2+2=2+1+1=1+1+1+1\]이므로 $p(4)=5$이다. $p(0)=1$이라 하자.
이때 $p(n)-p(n-1)$은 $n$을 $1$보다 큰 정수들의 합으로 나타내는 방법의 수와 같음을 증명하라.
(2012년 7월 28일 불가리아 Blagoevgrad. 5문제/5시간)
2011 캐나다수학올림피아드 3번문제
정사각형을 유한개의 흰색 또는 빨강색 직사각형으로 나누되, 직사각형의 각 변은 정사각형의 변과 평행하도록 나누었다. 각각의 흰색 직사각형 내부에는 그 직사각형의 폭을 높이로 나눈 값을 적자. 각각의 빨강색 직사각형 내부에는 그 직사각형의 높이를 폭으로 나눈 값을 적자. 그 후 모든 적힌 숫자들의 합을 $x$라 하자. 만일 전체 흰색 직사각형의 면적의 합이 전체 빨강색 직사각형의 면적의 합과 같다면, $x$의 가능한 값 중 최솟값은 무엇인가?
(2011년 3월 23일)
2012 영국수학올림피아드 2라운드 3번문제
실수 전체의 집합을 서로 겹치지 않게 두 부분집합으로 나누었다고 하자. 이때 임의의 양의 정수 $m$, $n$에 대해 한 부분집합에 속한 실수 $x<y<z$가 있어서 $m(z-y)=n(y-x)$이 되게 할 수 있음을 증명하라.
(2012년 1월 26일, 3시간 반동안 4문제)