$x_1,x_2,\ldots,x_{1000}$은 정수이며, 672 이하의 임의의 양의 정수 $k$에 대해 $\sum_{i=1}^{1000}x_i^k$는 2017의 배수였다고 한다. 이 때, $x_1,x_2,\ldots,x_{1000}$은 모두 2017의 배수임을 보여라.
단, 2017은 소수이다.

$p$는 홀수인 소수이다. 1 이상 $p-1$ 이하인 정수 $k$에 대해, $kp+1$의 약수 중에서 $k$보다 크거나 같고 $p$보다 작은 것의 개수를 $a_k$라 하자. $a_1+a_2+\cdots+a_{p-1}$의 값을 구하여라.

수열 $a_n$을 $a_0=4$, $a_n=a_{n-1}^2-a_{n-1}$로 정의하자.
a) 이 수열의 어떤 항의 약수가 되는 소수의 수가 무한히 많음을 증명하라.
b) 이 수열의 모든 항의 약수가 되지 않는 소수의 수는 무한히 많은가?