양의 약수의 개수의 네제곱이 자기 자신이 되는 모든 자연수를 구하여라.
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1998 아일랜드 수학올림피아드 6번문제
정확히 16개의 약수 $1 = d_1 < d_2 < \cdots < d_{15} < d_{16} = n$ 을 갖고, $d_6 = 18$, $d_9 - d_8 = 17$ 인 자연수 $n$을 모두 구하여라.
1995 아일랜드 수학올림피아드 10번문제
서로 다른 네 소수의 곱으로 임의의 자연수 $n$에 대해, $1 = d_1 < d_2 < \cdots < d_{15} < d_{16} = n$ 을 $n$의 약수들이라 하자. $n < 1995$ 이면 $d_9 - d_8 \neq 22$ 임을 증명하여라.
2012 Baltic Way 팀수학경시대회 17번문제
양의 정수 $n$의 양의 약수의 개수를 $d(n)$이라 하자. 등식 \[ n^{d(n)}-1=p^k\]을 만족시키는 양의 정수 $n$, $k$와 소수 $p$의 순서쌍 $(n,k,p)$를 모두 구하여라.
2011 국제수학올림피아드 5번문제
모든 정수의 집합에서 양의 정수의 집합으로 가는 함수 $f$가 있다. 임의의 정수 $m$, $n$에 대하여 $f(m−n)$이 $f(m)−f(n)$를 나눈다고 한다. $f(m) \le f(n)$을 만족하는 임의의 정수 $m$, $n$에 대하여 $f(m)$이 $f(n)$의 약수임을 보여라.
2011 국제수학올림피아드 1번문제
네 개의 서로 다른 양의 정수들의 집합 $A=\{a_1,a_2,a_3,a_4\}$에 대하여 $s_A=a_1+a_2+a_3+a_4$라 하고, $n_A$를 $a_i+a_j$가 $s_A$의 약수가 되는 쌍 $(i,j)$ (단, $1\le i<j\le 4$)의 개수라 하자. 네 개의 서로 다른 양의 정수로 이루어진 집합들 중에서 어떠한 집합들 $A$에 대하여 $n_A$가 최대가 되는가?