양의 정수 $a$, $b$, $c$에 대하여, 세 개의 정수 $a^2+b+c$, $b^2+c+a$, $c^2+a+b$가 모두 완전제곱수일 수는 없음을 보여라.
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2016 영국수학올림피아드 2라운드 4번문제
두 수 $u^2$과 $v^2$의 평균이 $p^2$이 되는 소수 $p$와 서로 다른 양의 정수 $u$, $v$가 있다고 하자. 이때 $2p-u-v$는 어떤 수의 제곱이거나 어떤 수의 제곱의 두 배임을 보여라.
1994 미국수학올림피아드 1번문제
$k_1 < k_2 < k_3 < \cdots $ 을 어떤 두 수도 연속하지 않은 자연수들이라 하고, $s_m = k_1 + k_2 + \cdots + k_m$ 이라 하자. 임의의 자연수 $n$에 대해, 구간 $[s_n, s_{n+1})$ 에 항상 완전제곱수가 포함됨을 증명하여라.
1991 아일랜드 수학올림피아드 6번문제
$m=3, 4, 5$ 혹은 6일 때, 연속한 $m$개의 완전제곱수의 합은 완전제곱수가 될 수 없음을 보여라. $m=11$ 일 때는 연속한 11개의 완전제곱수의 합이 완전제곱수가 되는 예를 찾아라.
2014 제28회 한국수학올림피아드 고등부 1번문제
정수 $x,y$에 대하여 $x^2-4y+1$이 $(x-2y)(1-2y)$의 배수일 때, $\lvert x-2y\rvert$가 완전제곱수임을 보여라.
2013 국제수학올림피아드 Short List N4
다음 조건을 만족하는 $0$아닌 숫자들 $a_1,a_2,\ldots$의 무한 수열과 정수 $N$이 존재하는가?
모든 $k>N$에 대해 정수 $\overline{a_ka_{k-1}\cdots a_1}$은 완전제곱수이다. ($\overline{a_ka_{k-1}\cdots a_1}$은 $1$의 자리수가 $a_1$, $10$의 자리수가 $a_2$, $10^2$의 자리수가 $a_3$, …, $10^{k-1}$의 자리수가 $a_k$인 양의 정수이다.)