내심이 $I$인 삼각형 $ABC$의 내접원이 변 $BC$, $CA$, $AB$와 각각 점 $D$, $E$, $F$에서 접한다. 삼각형 $IAB$, $IAC$의 외심을 각각 $O_1$, $O_2$라 하고, 삼각형 $ABC$의 외접원과 직선 $EF$의 두 교점을 $P$, $Q$라 하자. 삼각형 $DPQ$의 외심이 직선 $O_1O_2$ 위에 있음을 보여라.
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2014 영국수학올림피아드 2라운드 4번문제
삼각형 $ABC$ 내부에 점 $P$가 있다. 직선 $AP$가 삼각형 $ABC$의 외접원과 만나는 $A$ 아닌 점을 $A’$라 하고 비슷한 방식으로 $B’$, $C’$를 정의하자. 삼각형 $BCP$, $CAP$, $ABP$의 외심을 각각 $O_A$, $O_B$, $O_C$라 하자. 삼각형 $B’C’P$, $C’A’P$, $A’B’P$의 외심을 각각 $O_A’$, $O_B’$, $O_C’$이라 하자. 이때 세 직선 $O_AO_A’$, $O_BO_B’$, $O_CO_C’$은 한 점에서 만난다는 것을 증명하라.
2013 중국여자수학올림피아드 7번문제
점 $T$에서 외접하는 두 원 $O_1$, $O_2$가 있다. 원 $O_1$에 내접하는 사각형 $ABCD$가 있다. 직선 $DA$와 직선 $CB$가 원 $O_2$와 각각 점 $E$, $F$에서 접한다고 한다. 각 $ABF$의 각이등분선이 $EF$와 만나는 점을 $N$이라 하자. 원 $O_1$의 원호 $AT$가 직선 $FT$와 점 $M(\neq A,T)$에서 만난다고 한다. 이때 $M$이 삼각형 $BCN$의 외심임을 증명하라.
(2013년 8월 13일, 4시간 30분 동안 4문제, 중국 저장성, 출처)
2012 국제수학올림피아드 Short List G3
예각삼각형 $ABC$에서 점 $A$, $B$, $C$에서 맞은 편 변으로 내린 수선의 발을 각각 $D$, $E$, $F$라 하자. 삼각형 $AEF$와 $BDF$의 내심을 각각 $I_1$, $I_2$라 하자. 삼각형 $ACI_1$과 $BCI_2$의 외심을 각각 $O_1$, $O_2$라 하자. 이때 직선 $O_1O_2$와 $I_1I_2$는 평행함을 보여라.
2013 캐나다수학올림피아드 5번문제
예각삼각형 $ABC$의 외심을 $O$라 하자. 변 $AB$ 위에 $\angle BOP=\angle ABC$가 되게 점 $P$를 잡고, 변 $AC$ 위에 $\angle COQ=\angle ACB$가 되게 점 $Q$를 잡자. 이때 직선 $PQ$를 기준으로 직선 $BC$를 대칭시켜 얻은 직선이 삼각형 $APQ$의 외접원과 접한다는 것을 증명하라.
(2013년 3월 27일, 출처)
2013 아시아태평양수학올림피아드 1번문제
예각삼각형 $ABC$의 점 $A$, $B$, $C$에서 내린 수선의 발을 $D$, $E$, $F$라 하고 외심을 $O$라 하자. 이때 선분 $OA$, $OF$, $OB$, $OD$, $OC$, $OE$는 삼각형 $ABC$를 넓이가 같은 삼각형 3쌍으로 쪼갠다는 것을 증명하라.
(2013년 3월 12일, 4시간, 출처)