변 $AB$의 길이가 $AC$의 길이보다 긴 예각삼각형 $ABC$의 외접원을 $\Gamma$라 하고 수심을 $H$라 하며 점 $A$에서 내린 수선의 발을 $F$라 하고 변 $BC$의 중점을 $M$이라 하자. 원 $\Gamma$ 위에 $\angle HQA=90^\circ$이 되도록 점 $Q$가 있으며, $\angle HKQ=90^\circ$이 되도록 원 $\Gamma$ 위에 점 $K$가 있다고 한다. 점 $A$, $B$, $C$, $K$, $Q$가 모두 서로 다르고 원 $\Gamma$ 위에 이 순서로 나타난다고 하자. 이때 삼각형 $KQH$의 외접원과 삼각형 $FKM$의 외접원은 접한다는 것을 증명하라.
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2014 국제수학올림피아드 4번문제
예각삼각형 $ABC$의 변 $BC$위의 두 점 $P$, $Q$가 각각 $\angle PAB = \angle BCA$, $\angle CAQ = \angle ABC$를 만족한다. 직선 $AP$ 위의 점 $M$, 직선 $AQ$위의 점 $N$에 대하여, 점 $P$는 선분 $AM$의 중점이고, 점 $Q$는 선분 $AN$의 중점이다. 두 직선 $BM$과 $CN$의 교점이 삼각형 $ABC$의 외접원 위에 있음을 보여라.
2014 국제수학올림피아드 3번문제
볼록사각형 $ABCD$에 대하여, $\angle ABC=\angle CDA=90^\circ$이다. 점 $H$를 꼭지점 $A$에서 대각선 $BD$에 내린 수선의 발이라 하자. 변 $AB$ 위의 점 $S$와 변 $AD$ 위의 점 $T$에 대하여, 점 $H$는 삼각형 $SCT$의 내부에 있고, \[ \angle CHS-\angle CSB=90^\circ, \angle THC-\angle DTC=90^\circ\]이다. 이때, 직선 $BD$가 삼각형 $TSH$의 외접원에 접함을 증명하여라.
2014 영국수학올림피아드 2라운드 4번문제
삼각형 $ABC$ 내부에 점 $P$가 있다. 직선 $AP$가 삼각형 $ABC$의 외접원과 만나는 $A$ 아닌 점을 $A’$라 하고 비슷한 방식으로 $B’$, $C’$를 정의하자. 삼각형 $BCP$, $CAP$, $ABP$의 외심을 각각 $O_A$, $O_B$, $O_C$라 하자. 삼각형 $B’C’P$, $C’A’P$, $A’B’P$의 외심을 각각 $O_A’$, $O_B’$, $O_C’$이라 하자. 이때 세 직선 $O_AO_A’$, $O_BO_B’$, $O_CO_C’$은 한 점에서 만난다는 것을 증명하라.
1998 제11회 한국수학올림피아드 최종시험 5번문제
$\triangle ABC$의 내심을 $I$, 점 $B$를 지나고 $I$에서 직선 $CI$에 접하는 원을 $O_1$, 점 $C$를 지나고 $I$에서 직선 $BI$에 접하는 원을 $O_2$라고 하자. $\triangle ABC$의 외접원과 원 $O_1$, $O_2$는 한 점에서 만남을 증명하라.
2012 국제수학올림피아드 Short List G6
내심이 $I$이고 외심의 $O$인 삼각형 $ABC$가 있다. 변 $BC$, $CA$, $AB$ 위에 각각 점 $D$, $E$, $F$를 잘 잡아서 $BD+BF=CA$, $CD+CE=AB$가 되게 하였다. 삼각형 $BFD$와 $CDE$의 외접원이 점 $P(\neq D)$에서 만난다고 한다. 이때 $OP=OI$임을 증명하라.