어느 지역 테니스 클럽의 20명의 회원들이 단식전을 갖기로 했다. 경기는 모두 14번이고, 각 회원은 최소한 한 경기에는 참가한다. 그럼 이 경기들 중에 서로 다른 12명이 참가하는 6 경기가 있음을 증명하여라.

집합 $\{1, 2, 3, \dotsc, 20\}$에서 9개의 수를 골라 만든 모든 부분집합 $S$ 각각에 1에서 20까지의 정수 중 하나를 대응시키는 임의의 함수를 $f(S)$라 하자. 10개의 수를 갖는 부분집합 $T \subset \{1, 2, 3, \dotsc, 20\}$ 중에 모든 $k \in T$ 에 대해 $f(T-\{k\}) \neq k$ 인 것이 존재함을 증명하여라.

어느 강연에 참석한 다섯 명의 수학자가 각각 정확히 두 번씩 잠이 들었다고 한다. 이들 중 어느 두 명을 택해도 그 두 명이 동시에 잠이 든 순간이 있었다고 한다. 세 명이 동시에 잠이 든 순간이 있었음을 증명하여라.

어느 파티에 $n$명이 참석하였다. 이 중 어느 두 명이 있어서, 나머지 $n-2$명 중에 이 둘을 모두 알거나 혹은 모두 모르는 사람이 최소 $[n/2]-1$명 있음을 증명하여라. 단, `안다’는 것은 상호적인 관계이고, $[x]$는 $x$보다 작거나 같은 가장 큰 정수이다.

아홉 명의 수학자가 어느 국제 회의에서 만났는데, 그들 중 어느 세 명을 택해도 그 중 같은 언어로 말할 수 있는 두 명이 항상 있음을 발견하였다. 각 수학자는 최대 세 가지 언어로 말할 수 있다고 할 때, 같은 언어로 말할 수 있는 세 명의 수학자가 있음을 증명하여라.