집합 $\mathbb Z$와 $\mathbb Q$를 각각 정수의 집합과 유리수의 집합이라 하자.
a) 집합 $\mathbb Z$를 세 개의 공집합이 아닌 집합 $A$, $B$, $C$로 나눠서 $A+B$, $B+C$, $C+A$가 서로 겹치지 않게 할 수 있는가?
b) 집합 $\mathbb Q$를 세 개의 공집합이 아닌 집합 $A$, $B$, $C$로 나눠서 $A+B$, $B+C$, $C+A$가 서로 겹치지 않게 할 수 있는가?
단 두 집합 $X,Y\subseteq \mathbb Q$에 대해 $X+Y$란 집합 $\{x+y: x\in X, y\in Y\}$를 뜻한다.
태그 보관물: 집합
2013 루마니아 TST2 4번문제
정수 $k>1$에 대해 다음 두 조건을 동시에 만족하는 양의 정수 집합의 부분집합들의 무한 집합 $\mathcal A$을 만들어라.
(a) 집합 $\mathcal A$의 원소인 임의의 $k$개의 서로 집합은 정확히 $1$개의 공통원소가 있다.
(b) 집합 $\mathcal A$의 원소인 임의의 $k+1$개의 서로 다른 집합의 교집합은 공집합이다.
(출처)
2013 이란 TST 2번문제
집합 $\{1,2,\ldots,n\}$의 부분집합들의 모임에 들어있는 서로 다른 두 집합 $A$, $B$에 대해 만일 $A\subseteq B$이면 $\lvert B-A\rvert\ge 3$이라고 한다. 이 모임에 들어있는 부분집합 수의 최대값을 구하시오.
(2013년, 출처)
2013 아시아태평양수학올림피아드 4번문제
양의 정수 $a$, $b$에 대해 정수의 유한집합 $A$, $B$가 다음 조건을 만족한다고 하자.
(i) $A$와 $B$의 교집합은 공집합이다.
(ii) 어떤 정수 $i$가 $A$나 $B$의 원소이면, $i+a$가 $A$의 원소이거나, $i-b$가 $B$의 원소이다.
이때 $a\lvert A\rvert=b\lvert B\rvert$임을 증명하라. (단, $\lvert X\rvert$는 집합 $X$의 원소의 갯수이다.)
(2013년 3월 12일, 4시간, 출처)
2013 중국수학올림피아드 4번문제
정수 $n\ge 2$에 대해 다음 조건을 만족하는 $n$개의 유한 집합 $A_1,A_2,\ldots,A_n$이 주어져 있다.
\[ \text{모든 $i,j\in\{1,2,\ldots,n\}$에 대해 }\lvert A_i\Delta A_j\rvert = \lvert i-j\rvert.\](단 $X\Delta Y=(X-Y)\cup (Y-X)$이다.) 이때 $\sum_{i=1}^n \lvert A_i\rvert$의 최솟값을 구하여라.
(둘째날)
2013 중국수학올림피아드 2번문제
모든 $m,n\in S$에 대해 $3m-2n\in S$가 되는 정수의 집합 $S$ 중 공집합이 아닌 것을 모두 찾으시오.
(첫째날)