모든 정수의 집합을 $\mathbb Z$라 하자. 모든 정수 $a$, $b$에 대하여 다음 조건을 만족하는 함수 $f:\mathbb Z\to \mathbb Z$를 모두 구하여라. \[ f(2a)+2f(b)=f(f(a+b)).\]
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2018 미국수학올림피아드 2번문제
다음 조건을 만족하는 함수 $f:(0,\infty)\to(0,\infty)$를 모두 구하여라. 양의 실수 $x,y,z$가 $xyz=1$이면 \[ f(x+\frac1y)+f(y+\frac1z)+f(z+\frac1x)=1\]이다.
2017 Baltic Way 팀수학경시대회 5번문제
모든 실수 $x$, $y$에 대하여 \[ f(x^2y)=f(xy)+y f(f(x)+y)\]인 함수 $f:\mathbb R\to\mathbb R$를 모두 찾아라.
2010 아시아태평양수학올림피아드 5번문제
실수 전체의 집합 $\mathbb R$로부터 $\mathbb R$로 가는 함수 $f$들 중, 다음의 항등식을 만족하는 것들을 모두 구하여라: 모든 $x,y,z\in\mathbb R$에 대하여, \[ f(f(x)+f(y)+f(z))=f(f(x)-f(y))+f(2xy+f(z))+2f(xz-yz).\]
2011 아시아태평양수학올림피아드 5번문제
실수 전체의 집합 $\mathbb R$에 대하여, 다음의 두 조건을 만족하는 함수 $f:\mathbb R\to \mathbb R$를 모두 구하여라.
(1) 모든 실수 $x$에 대하여, $f(x)<M$을 만족시키는 실수 $M$이 존재한다.
(2) 모든 실수 $x$, $y$에 대하여, $f(xf(y))+yf(x)=xf(y)+f(xy)$가 성립한다.
2008 제22회 한국수학올림피아드 고등부 7번문제
다음의 세 조건을 모두 만족하는 함수 $f:\mathbb R\to\mathbb R$는 오직 $f(x)=x$ 하나뿐임을 보여라. 단, $\mathbb R$은 모든 실수의 집합이다.
(1) 모든 실수 $x\neq 0$에 대하여, $f(x)=x^2 f\left(\frac1x\right)$,
(2) 모든 실수 $x$, $y$에 대하여, $f(x+y)=f(x)+f(y)$,
(3) $f(1)=1$.