다음 극한을 계산하여라. \[ \lim_{n\to\infty}\sqrt{n} \int_0^\pi \sin^n x\,dx\]
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2017 제36회 전국 대학생 수학경시대회 제1분야 6번문제
양의 정수 $n$에 대하여 $n\times n$ 실행렬 $A$는 모든 성분이 $1$인 행렬 $J$에 대하여 다음을 만족한다. \[ A+A^T=\frac1n J, ~ AJ=\frac12 J\] 모든 양의 홀수 $m$에 대하여 $A^m-I$가 가역행렬임을 보여라. (단, $A^T$는 $A$의 전치행렬이다.)
2017 제36회 전국 대학생 수학경시대회 제1분야 7번문제
수열 $\{a_n\}$은 모든 항이 양수인 감소하는 수열이고, $0<\theta<\frac\pi2$이다. 다음이 성립함을 보여라. \[ \left\lvert \sum_{n=1}^{2017} a_n \cos n\theta\right\rvert \le \frac{\pi a_1}\theta\]
2017 제36회 전국 대학생 수학경시대회 제1분야 8번문제
다음 미분방정식의 해를 $u(t)$라고 하자. \[ \begin{cases} u”(t)+u'(t)=\sin u(t) \quad (t>0),\\ u(0)=1, ~ u'(0)=0 \end{cases}\]
(1) 함수 $u(t)$와 $u'(t)$가 $t>0$인 범위에서 유계임을 보여라.
(2) 극한 $\lim_{t\to \infty} u(t)$를 구하여라.
2017 제36회 전국 대학생 수학경시대회 제2분야 1번문제
차수가 3 이하인 모든 실계수 다항식으로 이루어진 실벡터공간을 $V$라 하고 선형사상 $T:V\to V$를 다음과 같이 정의한다.
$T(P(x))=x^4 P(x)$를 $(x-1)^2(x+1)^2$으로 나눈 나머지
이 때, $T$의 특성다항식을 구하여라.
2017 제36회 전국 대학생 수학경시대회 제2분야 2번문제
다음 미분방정식의 해 $u(t)$를 구하여라.\[ \begin{cases} u'(t)&=-u(t)+u(t)^2 e^t\qquad (t>0),\\ w(0)&=-1\end{cases}\]