(KAIST 수학문제연구회와 xMO 까페의 번역 지원을 받았습니다.)

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$2005^{2005}$는 두 완전제곱수의 합이지만 두 완전세제곱수의 합은 아님을 보여라.

삼각형 $ABC$의 변 $BC$, $CA$, $AB$ 위에 각각 꼭지점이 아닌 점 $D$, $E$, $F$가 있다. $AD$, $BE$, $CF$는 한 점 $G$에서 만난다. 세 삼각형 $AGE$, $CGD$, $BGF$의 넓이가 서로 같으면 $G$는 $\triangle ABC$의 무게중심임을 증명하여라.

삼각형의 세 중선의 길이의 합은 둘레의 길이의 $\frac34$ 이상임을 증명하여라.

$a_1, a_2, \dots, a_{10}$은 $1, 2, \dots, 10$의 재배열이다.
$1 \leq i \leq 5$ 에 대해 $a_i > a_{2i}$ 이고, $1 \leq i \leq 4$ 에 대해 $a_i > a_{2i+1}$ 을 만족하도록 재배열하는 방법의 수를 구하여라.

모두 같지는 않은 음이 아닌 세 실수 $a$, $b$, $c$에 대해 다음을 증명하여라.\[ \frac13 \leq \frac{a^2 + b^2 + c^2 – 3 \sqrt[3]{a^2b^2c^2}}{(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2} \leq 1\]

$X$는 삼각형 $ABC$의 변 $AB$ 위의 점으로, $A$나 $B$와는 다른 점이다. 삼각형 $ACX$와 $BCX$의 내심을 각각 $P$와 $Q$라 하고, $PQ$의 중점을 $M$이라 하자. $MC > MX$ 임을 증명하여라.

두 사람 $A$와 $B$가 숫자 1, 2, 3, 4, 5를 사용하여 2005 자리의 수 $N$을 만드는 게임을 한다. $A$가 먼저 첫 번째 자릿수를 택하고, 다음 $B$가 두 번째 자릿수를 택하고, 그 다음은 $A$가, 그 다음은 $B$가, 이런 식으로 번갈아 한다. $N$이 9의 배수가 되면 $A$가 이기는 것으로 한다. 두 사람 모두 최선의 경기를 한다면 누가 이기겠는가?

$x$는 정수이고 $y$, $z$, $w$는 양의 홀수들이다. $x^{y^{z^w}} – x^{y^z}$ 가 17로 나누어떨어짐을 증명하여라.

$(\sqrt2 + \sqrt5\,)^{2000}$ 의 십진전개에서 일의 자리와 소수점 이하 첫째 자리의 숫자를 각각 구하여라.

$m$과 $n$은 홀수이고 $m^2 – n^2 + 1$ 이 $n^2 – 1$ 을 나눈다고 한다. $m^2 – n^2 + 1$ 이 완전제곱수임을 증명하여라.