2011년 3월 8일.
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양의 정수 $a$, $b$, $c$에 대하여, 세 개의 정수 $a^2+b+c$, $b^2+c+a$, $c^2+a+b$가 모두 완전제곱수일 수는 없음을 보여라.
평면 위에 다섯 개의 점 $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$, $A_5$가 있고, 이 중 어떤 세 점도 일직선 위에 있지 않다. 서로 다른 $i,j,k\in\{1,2,3,4,5\}$에 대하여, $\angle A_iA_jA_k$의 최솟값이 취할 수 있는 가장 큰 값을 구하여라.
$\angle BAC=30^\circ$인 예각삼각형 $ABC$에서, $\angle ABC$의 내각과 외각의 이등분선이 직선 $AC$와 만나는 점을 각각 $B_1$, $B_2$라고 하고, $\angle ACB$의 내각과 외각의 이등분선이 직선 $AB$와 만나는 점을 각각 $C_1$, $C_2$라 하자. 선분 $B_1B_2$와 $C_1C_2$를 각각 지름으로 하는 두 원의 교점이 삼각형 $ABC$의 내부의 점 $P$에서 만난다고 가정할 때, $\angle BPC=90^\circ$임을 보여라.
주어진 홀수인 양의 정수 $n$에 대하여, 다음의 세 조건을 모두 만족하는 $m+2$개의 서로 다른 점 $P_0$, $P_1$, $\ldots$, $P_{m+1}$이 좌표평면 위에 존재한다고 할 때, $m$이 취할 수 있는 가장 큰 값을 구하여라. (단, $m$은 음 아닌 정수이다.)
(1) $P_0=(0,1)$, $P_{n+1}=(n+1,n)$이고, 모든 $i\in \{1,2,\ldots,m\}$에 대하여 $P_i$의 $x$-좌표와 $y$-좌표는 $1$ 이상 $n$ 이하의 정수이다.
(2) 모든 $i\in\{0,1,2,\ldots,m\}$에 대하여, 선분 $P_i P_{i+1}$은 $i$가 짝수이면 $x$-축과 평행하고, $i$가 홀수이면 $y$-축과 평행하다.
(3) $0\le i<j\le m$인 $i$, $j$에 대하여, 선분 $P_i P_{i+1}$과 $P_j P_{j+1}$은 많아야 한 점을 공유한다.
실수 전체의 집합 $\mathbb R$에 대하여, 다음의 두 조건을 만족하는 함수 $f:\mathbb R\to \mathbb R$를 모두 구하여라.
(1) 모든 실수 $x$에 대하여, $f(x)<M$을 만족시키는 실수 $M$이 존재한다.
(2) 모든 실수 $x$, $y$에 대하여, $f(xf(y))+yf(x)=xf(y)+f(xy)$가 성립한다.