2011년 2월 25일 금요일 ~ 2월 26일 토요일. 4시간 30분동안 3문제. 출처.
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$f,g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$가 존재하여 $f \circ g$는 강감소하고 $g \circ f$가 강증가하게 할 수 있음을 보여라.
다음 조건들을 만족하는 실수 계수 다항식이 존재하게 하는 양의 정수 $n$들을 모두 구하여라.
(1) 임의의 정수 $k$에 대해, $f(k)$가 정수임과 $k$가 $n$의 배수가 아님이 동치이다.
(2) $f$의 차수가 $n$보다 작다.
삼각형 $ABC$는 원 $\omega$에 내접하고 있다. 변 $BC$와 평행하게 움직이는 직선 $l$이 선분 $AB,AC$와 각각 $D,E$에서 만나고, $\omega$와는 $K,L$에서 만나며 $D$가 $K,E$ 사이에 놓인다고 한다. 원 $\gamma_1$은 선분 $KD,BD$와 $\omega$에 접하며, $\gamma_2$는 선분 $LE,CE$와 $\omega$에 접한다. $l$이 움직일 때 $\gamma_1,\gamma_2$의 공통내접선의 교점의 자취를 구하여라.
주어진 양의 정수 $n=\prod_{i=1}^s p_i^{\alpha_i}$에 대해, $n$의 소인수의 개수를 중복을 허용하며 센 수인 $\sum_{i=1}^s \alpha_i$를 $\Omega(n)$으로 정의하자. $\lambda(n)=(-1)^{\Omega(n)}$으로 정의하자. (예를 들어 $\lambda(12)=\lambda(2^2 \cdot 3^1) = (-1)^{2+1}=-1$이다.)
이 때 다음을 증명하여라:
i) $\lambda(n)=\lambda(n+1)=+1$인 양의 정수 $n$이 무수히 많이 존재함을 보여라.
ii) $\lambda(n)=\lambda(n+1)=-1$인 양의 정수 $n$이 무수히 많이 존재함을 보여라.
모든 $n \geq 3$에 대해, 다음 조건을 만족하는 평면 위의 서로 다른 $n$개의 점들 $X_1,\cdots,X_n$의 위치를 모두 구하여라: 임의의 서로 다른 두 점 $X_i,X_j$에 대해 $\{1,2,\cdots,n\}$의 순열 $\sigma$가 존재하여 모든 $1 \leq k \leq n$에 대해 $d(X_i,X_k)=d(X_j,X_{\sigma(k)})$가 성립한다. ($d(X,Y)$는 평면 상에서의 두 점 $X,Y$ 사이의 거리이다.)
$2011 \times 2011$ 모양의 칸에 숫자들 $1,2,\cdots,2011^2$이 한 칸에 하나씩 써 있다. 이제 왼쪽 변과 오른쪽 변을 붙이고, 위쪽 변과 아래쪽 변을 붙여 토러스처럼 만들자. (토러스는 도넛의 표면과 같은 모양이다.) 어떻게 숫자들을 칸들에 써넣더라도 서로 인접한 두 칸이 있어 그들에 쓰인 수의 차이가 최소 $M$이 되게 하는 양의 정수 $M$의 최댓값을 구하여라. (두 칸 $(x,y),(x’,y’)$가 인접하는 것은 $x=x’$이고 $y-y’ \equiv \pm 1\text{ (mod 2011)}$이거나 $y=y’$이고 $x-x’ \equiv \pm 1\text{ (mod 2011)}$일 때이다.)