1989년 4월 22일-23일. 하루 3문제 4시간 30분.
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다음 부등식을 증명하여라.
(1) $\frac {43}{44} < \frac 1{\sqrt 2+2}+\frac 1{2\sqrt 3+3\sqrt 2}+\cdots +\frac 1{1988\sqrt{1989}+1989\sqrt{1988}} < \frac {44}{45}$
(2) $\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdots (2n)} <\frac 1{\sqrt {2n}}\qquad (n\ge 1)$.
$0<\alpha_i < \frac {\pi}2\ (i=1, 2, \cdots , n)$ 이고, $\sum\limits_{i=1}^n \alpha_i =\alpha$(일정) 이라 할 때 다음 식의 최대값을 구하여라.\[\left(\sum_{i=1}^n \sin \alpha_i\right)\left(\prod_{i=1}^n \sin \alpha_i\right).\]
$f(x)=|x^2-1|$ ($x$는 실수), $f^{(2)} (x)=f\circ f(x)=f\{f(x)\}$, $f^{(n)} (x)=f(f^{(n-1)}(x))\quad (n=1, 2, \cdots )$ 이라 한다.
(1) 임의의 자연수 $n$에 대하여 $f^{(n)} (x)=0$ 의 근과 $f^{(n)}(x)=1$ 의 근을 크기 순으로 나열하면 두 방정식의 근이 교대로 배열됨을 밝혀라.
(2) 모든 자연수 $n$에 대하여 $f^{(n)} (x)=0$의 근과 $f^{(n)} (x)=1$ 의 근을 모두 포함하는 최소의 개구간을 구하여라.
자연수 $n$에 대하여 $(45 +\sqrt{1989})^n$의 정수부분은 홀수임을 밝혀라.
원 $O$에 내접하는 정 $(2n+1)$각형의 꼭지점을 차례로 $A_1, A_2, \cdots , A_{2n+1}$이라 한다. 호 $\frown{A_1A_{2n+1}}$위의 임의의 점 $P$에 대하여 \[\sum_{k=1}^{2n+1} (-1)^k \overline{PA_k}=0\]임을 증명하여라.
세 변의 길이가 각각 $a, b, c$인 $\triangle ABC$의 중심을 $G$, 내심을 $I$, 내접원의 반지름의 길이를 $r$이라 할 때, 다음 물음에 답하여라.
(1) $\overline{GI}^2 = r^2 + f(a, b, c)$ 이라 할 때, $a, b, c$에 관한 이차식 $f(a, b, c)$를 구하여라.
(2) 중심 $G$가 내접원 위에 있을 때
(i) $a\ge b\ge c$라 하고 $\frac ac$의 최대값을 구하여라.
(ii) 세 변의 길이가 정수인 삼각형의 예를 하나 들어라.