2018년 11월 11일. 오전 오후 각각 3시간, 4문제.
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예각삼각형 $ABC$의 내심 $I$에서 변 $AC$에 내린 수선의 발을 $E$라 하자. 점 $A$를 지나고 직선 $BI$에 수직인 직선과 직선 $CI$의 교점을 $K$라 하고, 점 $A$를 지나고 직선 $CI$에 수직인 직선과 점 $C$를 지나고 직선 $BI$에 수직인 직선의 교점을 $L$이라 하자. 세 점 $E$, $K$, $L$이 한 직선 위에 있음을 보여라.
양의 정수 $n$에 대하여, $x+y+2z+3w=n-1$을 만족하는 음이 아닌 정수의 순서쌍 $(x,y,z,w)$의 개수를 $p(n)$이라고 하고, 다음 세 조건을 모두 만족하는 음이 아닌 정수의 순서쌍 $(a,b,c,d)$의 개수를 $q(n)$이라 하자.
(i) $a+b+c+d=n$
(ii) $a \ge b$이고 $c \ge d$이며 $a \ge d$이다.
(iii) $b<c$
모든 $n$에 대하여 $p(n)=q(n)$임을 보여라.
다항식 $f(x)=x^4+2x^3-2x^2 -4x+4$에 대하여 다음을 만족하는 소수 $p$가 무한히 많음을 보여라.
어떠한 양의 정수 $m$에 대해서도 $f(m)$은 $p$의 배수가 아니다.
실수의 수열 $\{ a_n \}$이 모든 양의 정수 $n$에 대하여 다음 두 조건을 모두 만족한다고 하자.
(i) $0 < a_n < n^\alpha$
(ii) $a_1 + a_2 + \cdots + a_n < \sqrt{n}$
이때 $n>N$인 모든 $n$에 대하여 $\displaystyle a_1^{2018} + a_2^{2018}+ \cdots + a_n^{2018} < \frac{n}{2018}$이 성립하는 양의 정수 $N$이 반드시 존재하게 되는 양수 $\alpha$를 모두 구하여라.
볼록사각형 $ABCD$에서 각 $A$의 이등분선이 각 $B$의 이등분선, 각 $D$의 이등분선과 만나는 점을 각각 $P$, $Q$라 하고, 각 $C$의 이등분선이 각 $D$의 이등분선, 각 $B$의 이등분선과 만나는 점을 각각 $R$, $S$라 하자. 이때 네 점 $P$, $Q$, $R$, $S$는 모두 다른 점이고, 두 선분 $PR$과 $QS$가 점 $Z$에서 수직으로 만난다. 각 $A$, $B$, $C$, $D$의 외각의 이등분선을 각각 $\ell_A$, $\ell_B$, $\ell_C$, $\ell_D$라 하고, $\ell_A$와 $\ell_B$의 교점을 $E$, $\ell_B$와 $\ell_C$의 교점을 $F$, $\ell_C$와 $\ell_D$의 교점을 $G$, $\ell_D$와 $\ell_A$의 교점을 $H$라 하자. 사각형 $EFGH$의 네 변 $FG$, $GH$, $HE$, $EF$의 중점을 각각 $K$, $L$, $M$, $N$이라 할 때, 사각형 $KLMN$의 넓이는 $\overline{ZM} \cdot \overline{ZK} + \overline{ZL} \cdot \overline{ZN}$임을 보여라.
서로 다른 $n$개의 양의 정수로 이루어진 집합 $S$에 대하여, 다음 조건을 만족하는 일대일대응 $f:\{1,2,\dots,n\}\to S$가 항상 존재함을 보여라. (단, $n$은 $3$ 이상인 정수이다.)
모든 $1\le i < j < k \le n$에 대하여, $\left(f(j)\right)^2 \ne f(i) \cdot f(k)$이다.
아래 그림과 같이 $9$개의 작은 원판 $A, B, \ldots, I$와 $11$개의 선분으로 이루어진 도형이 있다. 모든 원판에 실수를 하나씩 쓰고, 각 선분에는 선분의 양 끝 원판에 적힌 두 실수의 차의 제곱을 적는다. 원판 $A$에는 $0$, 원판 $I$에는 $1$을 쓰자. 이때 모든 선분에 적힌 수의 합이 될 수 있는 값 중 가장 작은 것을 구하여라.
양의 정수 $a$, $c$에 대하여 $b$는 $ac-1$의 양의 약수이다. $1$보다 작은 양의 유리수 $r$에 대하여, 집합 $A(r)$을 다음과 같이 정의하자. \[A(r)=\{ m(r-ac)+nab \mid \text{ $m$, $n$은 정수} \}\] 이때 $A(r)$의 원소 중 가장 작은 양의 유리수가 $\dfrac{ab}{a+b}$ 이상이 되는 $r$을 모두 구하여라.