4문제. 총 3시간 30분. 2016년 1월 28일.
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서로 외접하는 반지름이 $r_1$, $r_2$, $r_3$인 세 원이 어느 직선에 공통으로 접하며 그 만나는 접점이 순서대로 각각 $A$, $B$, $C$라고 하며 $B$가 $A$, $C$ 사이에 있다고 한다. 이때 $16(r_1+r_2+r_3)\ge 9(AB+BC+CA)$임을 증명하라.
영희는 자기가 생각하기에 잘 하는 순서대로 20개의 하키팀의 순서를 정하였는데 어떤 순서로 정했는지는 비밀로 하였다. 철수가 영희에게 3개 팀을 말해주면 영희는 이 셋중에 가장 약한 팀을 알려주거나 혹은 가장 강한 팀을 알려주지만, 어느 것을 말하는지는 알려주지 않는다. 철수는 원하는만큼 많은 질문을 할 수 있다. 이때 철수가 질문들을 잘 구성하면 팀 $N$개의 나열 $T_1,T_2,\ldots,T_N$을 잘 추측해서 모든 $1\le i\lt N$에 대해 영희는 $T_i$가 $T_{i+1}$보다 낫다는 것을 입증할 수 있다고 할 때 가능한 최대의 $N$ 값을 구하여라.
원에 내접하는 사각형 $ABCD$의 두 대각선 $AC$와 $BD$가 만나는 점을 $P$, 직선 $DA$와 직선 $CB$가 만나는 점을 $Q$라 하자. 선분 $AB$의 중점은 $E$라고 하자. 만일 $PQ$가 $AC$와 수직으로 만난다면 $PE$ 역시 $BC$와 수직으로 만난다는 것을 증명하라.
두 수 $u^2$과 $v^2$의 평균이 $p^2$이 되는 소수 $p$와 서로 다른 양의 정수 $u$, $v$가 있다고 하자. 이때 $2p-u-v$는 어떤 수의 제곱이거나 어떤 수의 제곱의 두 배임을 보여라.