1977 미국수학올림피아드

3시간 30분에 5문제.
(KAIST 수학문제연구회와 xMO 까페의 번역 지원을 받았습니다.)

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다음을 만족시키는 양의 정수쌍 $(m,n)$을 모두 구하여라:

$(1+x^n+x^{2n}+\cdots+x^{mn})$ 이 $(1+x+x^2+\cdots+x^m)$ 로 나누어 떨어진다.

$ABC$와 $A’B’C’$은 한 평면 위의 두 삼각형으로, 세 직선 $AA’$, $BB’$, $CC’$은 모두 평행하다. $[ABC]$는 삼각형 $ABC$의 면적에 적당히 $\pm$의 부호를 붙인 것이라고 하자. 다음을 증명하여라.\[ 3([ABC] + [A’B’C’]) = [AB’C’] + [BC’A’] + [CA’B’] + [A’BC] + [B’CA] + [C’AB]\]

$a$와 $b$가 $x^4 + x^3 – a = 0$ 의 두 근이면, $ab$가 $x^6 + x^4 + x^3 – x^2 – 1 = 0$ 의 한 근이 됨을 증명하여라.

꼬인 사변형(한 평면에 놓이지 않는 사변형)에서 대변의 길이가 각각 서로 같으면, 두 대각선의 중점을 잇는 직선은 이 대각선들에 수직임을 증명하여라. 또한 역으로, 꼬인 사변형의 두 대각선의 중점을 잇는 직선이 대각선들과 수직이면, 이 사각형의 대변의 길이가 각각 서로 같음을 증명하여라.

$0 < p < q$ 이고, $a$, $b$, $c$, $d$, $e$가 구간 $[p,q]$ 위의 점일 때, \[ (a+b+c+d+e) \left( \frac1a + \frac1b + \frac1c + \frac1d + \frac1e \right) \le 25 + 6 \left( \sqrt{\frac pq} - \sqrt{\frac qp} \,\right)^2\]임을 보이고, 등호가 성립할 조건을 구하여라.

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