2015년 4월 28일, 29일
하루에 4시간 30분동안 3문제를 풀게 됨.
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다음 식을 만족하는 정수 $x$, $y$를 모두 구하여라. \[ x^2+xy+y^2=\left( \frac{x+y}{3}+1\right)^3.\]
원 $\omega$에 내접한 사각형 $APBQ$에서 각 $P$와 각 $Q$가 모두 $90^\circ$이며 $AP=AQ\lt BP$라고 한다. 선분 $PQ$ 위에서 움직이는 점 $X$가 있을 때, 직선 $AX$가 원 $\omega$와 만나는 $A$ 아닌 점을 $S$라 하고, 직선 $XT$와 $AX$가 직교하도록 하는 원 $\omega$의 호 $AQB$ 위의 점을 $T$라 하며, 선분 $ST$의 중점을 $M$이라 한다. 이때 $X$가 선분 $PQ$ 위를 움직이면 $M$은 어떤 원 위를 움직이게 됨을 보여라.
양의 정수 $n$에 대해 $S=\{1,2,\ldots,n\}$이라 하자. 집합 $S$의 $2^n$개 부분집합 각각마다 빨강 혹은 파랑으로 색을 주었다. (집합에다가 색을 준 것이므로 원소에 색을 준 것으로 혼돈하지 마시오) 집합 $S$의 부분집합 $T$에 대해 $f(T)$를 $T$의 부분집합 중 파랑색을 가진 것의 수라고 하자.
이때 다음 조건을 만족시키게 색칠할 수 있는 방법의 수를 구하여라.
모든 $S$의 두 부분집합 $T_1$, $T_2$에 대해 \[ f(T_1)f(T_2)=f(T_1\cup T_2)f(T_1\cap T_2).\]
가로 $n$칸, 세로 $n$칸인 바둑판의 칸들에 총 $m\ge1$개의 똑같게 생긴 돌을 올려두었따. 각 칸마다 쌓을 수 있는 돌의 수 제한은 없다. 돌을 다 쌓은 후에는 돌을 옮기는 시행을 반복할 수 있다. 이 때 시행이란 바둑판에서 직사각형의 네 구석을 이루는 칸, 즉 어떤 $1\le i,j,k,\ell\le n$에 대해 $(i,k)$, $(i,\ell)$, $(j,k)$, $(k,\ell)$ 위치에 있는 칸 4개를 선택한 후, $(i,k)$, $(j,\ell)$ 각 칸에 있는 돌 하나씩을 뽑아서 $(i,\ell)$과 $(j,k)$로 각각 옮기거나, 혹은 $(i,\ell)$, $(j,k)$ 각 칸에 있는 돌을 뽑아서 $(i,k)$와 $(j,\ell)$로 옮기는 것을 뜻한다. 위의 시행을 거쳐서 어떤 돌들의 상황에서 다른 상황으로 바꿀 수 있으면 그 두 상황은 동등하다고 하자. 이때 서로 동등하지 않은 서로 다른 상황의 수를 구하여라.
서로 다른 양의 정수 $a$, $b$, $c$, $d$, $e$가 $a^4+b^4=c^4+d^4=e^5$를 만족한다. 이때, $ac+bd$이 합성수임을 증명하라.
어떤 수 $0\lt \lambda \lt 1$와 양의 정수의 모임인데 중복된 원소를 허용하는 모임 $A$가 있는데, 임의의 양의 정수 $n$에 대해 $A$의 원소 중 $n$ 이하인 것의 수가 $n \lambda$개 이하라고 한다. 이때, $A$의 원소 중 $n$ 이하인 것의 합이 $\frac{n(n+1)}{2}\lambda$ 이하가 되는 양의 정수 $n$이 무한히 많이 존재함을 증명하라.