정수 $n\ge 2$에 대하여 $a_1,a_2,\ldots,a_n$을 다음과 같이 정의하자.\begin{align*} a_1&=\dfrac{n(2n-1)(2n+1)}{3},\\a_k&=\frac{ (n+k-1)(n-k+1)}{ 2(k-1)(2k+1)} a_{k-1} \quad (k=2,3,\ldots,n)\end{align*}
(i) $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$은 모두 정수임을 보여라.
(ii) $a_1,a_2,\ldots,a_n$ 중 $2n-1$의 배수가 아닌 것이 하나 뿐이고, $2n+1$의 배수가 아닌 것도 하나 뿐인 것이 $2n-1$과 $2n+1$이 모두 소수일 필요충분조건임을 보여라.