모든 $n$에 대해 $a_{n}\in \{0,1\}$인 수열 $(a_n)_{n=1}^\infty$이 있다. 함수 $F:(-1,1)\to\mathbb R$이 \[F(x)=\sum_{n=1}^\infty a_n x^n\]으로 정의되어 있으며 $F(\frac12)$는 유리수였다고 가정하자. 이때, $F$는 정수 계수를 갖는 두 다항식을 나눈 것과 같음을 보여라.
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2016 Miklós Schweitzer 수학경시대회 3번문제
임의의 실수계수 다항식 $P$와 양의 정수 $n$에 대해, $P^2(x)+Q^2(x)$이 $(1+x^2)^n$으로 나누어 떨어지게 되는 실수계수 다항식 $Q$가 존재함을 보여라.
2014 제75회 William Lowell Putnam 수학경시대회 B5
참가자들이 수학게임으로 겨루는 제75회 푸트남 게임대회가 열린다. 어떤 고정된 양의 정수 $n$과 고정된 소수 $p$에 대해 박씨와 김씨가 서로 돌아가면서 각 항이 체 $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$로 구성된 $n\times n$ 행렬 중 역행렬이 존재하는 행렬로 만들어지는 군의 원소를 선택하는 게임을 하는데 규칙은 아래와 같다.
(1) 자기나 다른 사람이 이미 고른 적이 있는 것을 고를 수는 없다.
(2) 이제까지 뽑힌 모든 행렬와 교환법칙이 성립하는 행렬만 고를 수 있다.
(3) 더 이상 행렬을 뽑을 수 없는 사람이 진다.
박씨가 먼저 게임을 시작한다고 할 때 어느 쪽에 필승 전략이 있는가? (답은 $n$과 $p$에 따라 달라질 수 있다.)
2014 Miklós Schweitzer 수학경시대회 2번문제
양의 정수 $k$가 주어져있다. 폐구간 $[0,1]$의 부분구간 $I_1$, $I_2$, $\ldots$, $I_k$ 각각의 길이가 $0$보다 크다고 할 때, 다음을 증명하라. \[\sum \frac{1}{\lvert I_i\cup I_j\rvert}\ge k^2,\] 단, 합은 $I_i\cap I_j\neq\emptyset$인 모든 순서쌍 $(i,j)$에 대해 취한다.
2014 Miklós Schweitzer 수학경시대회 5번문제
차수가 $2$인 실수가 아닌 대수적 수 $\alpha$가 주어져 있다. 환(ring) $\mathbb{Z}[\alpha]$의 기약원(irreducible element)들의 집합을 $P$라 하자. 이때 \[ \sum_{p\in P}\frac{1}{\lvert p\rvert ^2}=\infty\]임을 증명하라.
2014 Miklós Schweitzer 수학경시대회 6번문제
표수(characteristic)가 $p$인 체 위에서 유한 $p$-군($p$-group) $G$의 표현 $\rho:G\to GL(V)$가 주어져있다. 선형 함수 $\sum_{g\in G} \rho(g)$를 $V$의 유한차원 부분공간 $W$로 제한하여 얻은 함수가 단사함수라면, $g\in G$에 대해 얻은 부분공간 $\rho(g)W$들로 생성(span)되는 부분공간은 이 부분공간들의 직합(direct sum)임을 보여라.