2014 제75회 William Lowell Putnam 수학경시대회 B5

참가자들이 수학게임으로 겨루는 제75회 푸트남 게임대회가 열린다. 어떤 고정된 양의 정수 $n$과 고정된 소수 $p$에 대해 박씨와 김씨가 서로 돌아가면서 각 항이 체 $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$로 구성된 $n\times n$ 행렬 중 역행렬이 존재하는 행렬로 만들어지는 군의 원소를 선택하는 게임을 하는데 규칙은 아래와 같다.
(1) 자기나 다른 사람이 이미 고른 적이 있는 것을 고를 수는 없다.
(2) 이제까지 뽑힌 모든 행렬와 교환법칙이 성립하는 행렬만 고를 수 있다.
(3) 더 이상 행렬을 뽑을 수 없는 사람이 진다.
박씨가 먼저 게임을 시작한다고 할 때 어느 쪽에 필승 전략이 있는가? (답은 $n$과 $p$에 따라 달라질 수 있다.)

2014 Miklós Schweitzer 수학경시대회 6번문제

표수(characteristic)가 $p$인 체 위에서 유한 $p$-군($p$-group) $G$의 표현 $\rho:G\to GL(V)$가 주어져있다. 선형 함수 $\sum_{g\in G} \rho(g)$를 $V$의 유한차원 부분공간 $W$로 제한하여 얻은 함수가 단사함수라면, $g\in G$에 대해 얻은 부분공간 $\rho(g)W$들로 생성(span)되는 부분공간은 이 부분공간들의 직합(direct sum)임을 보여라.