$a_0, a_1, \dots, a_n$은 다음을 만족하는 구간 $(0,\pi/2)$ 안의 수들이다.\[ \tan(a_0 – \frac\pi4) + \tan (a_1 – \frac\pi4) + \cdots + \tan(a_n – \frac\pi4) \geq n-1\] 다음을 증명하여라.\[ \tan a_0 \tan a_1 \cdots \tan a_n \geq n^{n+1}\]

$n \sin n^\circ$ ($n = 2,4,6,\dots,180$) 들의 평균이 $\cot 1^\circ$임을 증명하여라.

고장이 나서 $\sin$, $\cos$, $\tan$, $\sin^{-1}$, $\cos^{-1}$, $\tan^{-1}$ 버튼만 정상적으로 작동하는 계산기가 있다. 처음에 숫자창은 $0$이었다. 임의의 양의 유리수 $q$에 대해, 이 계산기의 버튼을 유한번 눌러서 $q$가 나타나도록 할 수 있음을 증명하여라. 단, 이 계산기는 오차 없이 무한 소숫점의 실수 계산을 한다고 가정하고, 모든 함수는 라디안으로 계산하는 것으로 한다.

다음을 증명하여라.\[ \frac1{\cos 0^\circ \cos 1^\circ} + \frac1{\cos 1^\circ \cos 2^\circ} + \cdots + \frac1{\cos 88^\circ \cos 89^\circ} = \frac{\cos 1^\circ}{\sin^2 1^\circ}\]

$x$, $y$, $z$, $A$, $B$, $C$는 실수이고, $A+B+C$는 $\pi$의 정수배일 때 \[ F_r = x^r \sin rA + y^r \sin rB + z^r \sin rC\]라 하자. $F_1 = F_2 = 0$ 이면 모든 양의 정수 $r$에 대해 $F_r = 0$ 임을 증명하여라.