2017 유럽여학생수학올림피아드 3번문제

어느 세 직선도 같은 점을 지나지 않는 2017개의 직선이 평면 위에 있다. 터보달팽이가 이 직선들 중 정확히 하나의 직선  위에만 있는 점에서 시작하여 다음과 같은 방법으로 직선을 따라 이동한다: 주어진 직선을 따라 움직이다가 다른 직선과 만나는 교차점을 보면 좌회전 또는 우회전을 하여 그 직선으로 옮겨타고 다시 계속 이동하는데, 이때 좌회전을 한 다음에는 우회전을, 우회전을 한 다음에는 좌회전을 한다. 터보달팽이는 교차점에서만 진행방향을 바꿀 수 있다. 이때, 터보달팽이가 두 방향으로 모두 이동한 적이 있는 선분이 있을 수 있는가?

2016 국제수학올림피아드 6번문제

평면에 $n\ge 2$개의 선분이 있다. 이 중 임의의 두 선분이 내부에서 교차하고, 어떤 세 선분도 한 점에서 만나지 않는다. 진용이는 각각의 선분마다 한 끝점을 선택해서 그 점에 개구리 한 마리를 놓되, 그 개구리가 그 선분의 다른 끝점을 향하도록 놓는다. 그리고 나서 손뼉을 $n-1$번 친다. 진용이가 손뼉을 한 번 칠 때마다, 모든 개구리는 앞으로 뛰어서 그 선분의 바로 다음 교점으로 이동한다. 개구리는 뛰는 방향을 절대로 바꾸지 않는다. 진용이는 개구리들이 뛰어 이동할 때, 어떤 두 개구리가 같은 교점에 동시에 있는 일이 발생하지 않도록 개구리를 배치하고자 한다.

(a) $n$이 홀수이면, 진용이가 원하는 대로 할 수 있음을 보여라.

(b) $n$이 짝수이면, 진용이가 원하는 대로 절대로 할 수 없음을 보여라.

2015 국제수학올림피아드 1번문제

평면 위에 있는 유한 개의 점의 집합 $S$의 임의의 서로 다른 두 점 $A$, $B$에 대하여 $AC=BC$가 되도록 하는 $S$의 점 $C$가 존재하면 $S$를 평형적이라고 하자. $S$의 어떤 서로 다른 세 점 $A$, $B$, $C$에 대해서도 $PA=PB=PC$인 $S$의 점 $P$가 wㅗㄴ재하지 않으면, $S$를 비중심적이라 하자.
(a) 모든 양의 정수 $n\ge 3$에 대해, $n$개 점으로 이루어진 평형적인 집합이 존재함을 보여라.
(b) $n$개 점으로 이루어진 평형적이고 비중심적인 집합이 존재하게 되는 양의 정수 $n\ge 3$을 모두 구하여라.

2006 국제수학올림피아드 Short List C7

서로 평행한 두 모서리가 없으며, 어느 모서리를 보더라도 그 모서리와 만나는 두 면 아닌 모든 면은 그 모서리와 평행하지 않은 볼록 다면체가 있다. 이 다면체의 두 점에 대해 각각을 지나는 평행한 두 평면이 있어서 이 다면체가 그 두 평면 사이에 포함되면 이 두 점을 맞은편에 있다고 하자.
맞은 편에 있는 꼭짓점 쌍의 수를 $A$라 하고, 맞은 편에 있는 모서리의 중점의 쌍의 수를 $B$라 할 때, $A-B$의 값을 이 다면체의 꼭짓점의 수, 모서리의 수, 면의 수를 이용하여 표현하여라.