2016 일본수학올림피아드 본선 3번문제

$n$을 양의 정수라 하자. JMO 왕국에 $2^n$명의 국민과 1명의 왕이 있다. 또한, JMO 왕국에는 화폐로 $2^n$엔 지폐와 $2^a$엔 동전 ($a=0,1,2,\ldots,n-1$)이 쓰인다고 한다. 모든 국민은 지폐를 얼마든지 가지고 있고, 국민들이 가지고 있는 동전은 총 $S$개였다고 한다. 어느 날 이후로 JMO왕국은 다음과 같은 징세라 불리우는 조작을 매일 시행하기로 했다고 한다:
– 모든 국민은 매일 아침 자신이 가지고 있는 화폐 중 유한 개를 택해, 그 날 밤에 각각의 화폐를 다른 국민이나 왕에게 건넨다.
– 이 때, 모든 국민들은 각각 자신이 준 금액이 받은 금액보다 정확히 1엔 많도록 한다.
JMO 왕국은 영원히 징세를 계속해서 시행할 수 있었다고 한다. 이 때 $S$의 값으로 가능한 값 중 최솟값을 구하여라.

2015 일본수학올림피아드 본선 2번문제

$n$을 2 이상의 정수라 하자. 한 변의 길이가 $n$인 정육각형 $ABCDEF$가 있어, 왼쪽 그림처럼 한 변의 길이가 1인 정삼각형들로 분할되어 있다. 정삼각형의 꼭지점들을 이 도형의 꼭지점이라 부르자.
사본 -jmo25mq1
정육각형 $ABCDEF$의 중심에 말이 놓여져있다. 오른쪽 그림처럼 정육각형 $ABCDEF$의 내부(둘레를 포함하지 않는다)에 있는 꼭지점 $P$ 각각에 대해, $P$와 길이 1인 변으로 연결되어있는 6개의 꼭지점들 중 4개의 꼭지점을 향해 화살표가 그려져 있어, 꼭지점 $P$에 말이 놓여져있을 때 그 4방향 중 한 방향으로 말을 움직이는 것이 가능하다. 단, 길이 1인 변 $PQ$에 대해, 꼭지점 $P$에서 꼭지점 $Q$로 말을 움직이는 것이 가능하더라도 꼭지점 $Q$에서 꼭지점 $P$로 말을 움직이는 것이 항상 가능한 것은 아니다.
이 때, 어떻게 화살표가 그려져있다 하더라도 말을 최대 $k$번 움직여서 정육각형 $ABCDEF$의 둘레 위의 꼭지점에 도착하게 하는 것이 가능한 정수 $k$가 존재함을 보이고, 그러한 $k$의 최솟값을 구하여라.

2014 일본수학올림피아드 예선 10번문제

$55 \times 55$의 체스판에 대해, 다음 시행을 생각한다: 몇 개의 칸으로 이루어진 직사각형의 영역을 하나 택하여, 그 영역을 흰색 혹은 검은색으로 칠한다. 모든 칸이 하얗게 칠해져있는 상태에서, 다음 3가지 조건을 만족하는 상태로 바꾸기 위해 필요한 시행의 횟수의 최솟값을 구하여라.
(1) 가장 좌상단에 있는 칸은 검은 색으로 칠해져있다.
(2) 검은색으로 칠해진 칸과 변을 공유하는 칸은 모두 흰색으로 칠해져있다.
(3) 흰색으로 칠해진 칸과 변을 공유하는 칸은 모두 검은색으로 칠해져있다.

2013 중국 TST3 1번문제

최대공약수가 $1$인 $n\ge 2$개의 양의 정수 $a_1$, $a_2,\ldots,a_n$에 대해, 그 합을 $A$라 하고, $A$와 $a_i$의 최대공약수를 $d_i$라 하며, $a_1,a_2,\ldots,a_n$에서 $a_i$를 뺀 나머지 $n-1$개 수의 최대공약수를 $D_i$라 하자. 이때 $\prod_{i=1}^n \frac{A-a_i}{d_i D_i}$의 최솟값을 구하여라.
(2013년 3월 24일, 출처, 4시간 30분)