원에 내접하는 사각형 $ABCD$의 두 대각선 $AC$와 $BD$가 점 $E$에서 만난다고 하자. 반직선 $DA$와 $CB$가 점 $F$에서 만난다고 한다. 사각형 $ECGD$가 평행사변형이 되게 점 $G$를 잡자. 직선 $AD$에 대해 점 $E$를 대칭시켜 얻은 점을 점 $H$라 하자. 이때 $D$, $H$, $F$, $G$는 한 원 위에 있음을 보여라.
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2013 제27회 노르딕 수학경시대회 4번문제
예각삼각형 $ABC$ 내부의 점 $H$를 생각하자. 점 $H$를 변 $AB$와 변 $AC$에 대칭시켜 얻은 점을 각각 $H_c$와 $H_b$라 하자. 점 $H$를 변 $AB$의 중점과 변 $AC$의 중점에 대칭시켜 얻은 점을 각각 $H_c’$와 $H_b’$이라 하자. 이때 네 점 $H_b$, $H_b’$, $H_c$, $H_c’$이 한 원이 있을 필요충분조건은 그 네 점 중 두 개 이상이 같은 점이거나 $H$가 $A$에서 변 $BC$에 내린 수선 위에 있다는 것임을 증명하라.
(2013년 4월 8일, 4시간, 4문제, 출처)
2013 캐나다수학올림피아드 5번문제
예각삼각형 $ABC$의 외심을 $O$라 하자. 변 $AB$ 위에 $\angle BOP=\angle ABC$가 되게 점 $P$를 잡고, 변 $AC$ 위에 $\angle COQ=\angle ACB$가 되게 점 $Q$를 잡자. 이때 직선 $PQ$를 기준으로 직선 $BC$를 대칭시켜 얻은 직선이 삼각형 $APQ$의 외접원과 접한다는 것을 증명하라.
(2013년 3월 27일, 출처)
2012 이란 TST 시험3 첫째날 1번문제
중심이 $O$인 정$2^k$각형의 각 변을 $\ell_1$, $\ell_2$, $\ldots$, $\ell_{2^k}$라 하자. 점 $O$를 $\ell_1$에 대해 대칭시키고, 그 점을 다시 $\ell_2$로 대칭시키고, 다시 그 점을 $\ell_3$에 대칭시키고, 이 작업을 순서대로 모든 변에 대해 다 하였다고 하자. 이때 마지막 점과 원래 점 $O$와의 거리는 정$2^k$각형의 둘레의 길이보다 작음을 보여라.
2012 이란 TST 시험1 둘째날 3번문제
원$O$에 내접한 오각형 $ABCDE$를 생각하자. 원 $O_a$, $O_b$, $O_c$, $O_d$, $O_e$를 각각 원 $O$를 직선 $AB$, $BC$, $CD$, $DE$, $EA$로 대칭시켜 얻은 것이라 하자. 점 $A’$은 $O_a$와 $O_e$가 두 번째로 만나는 점이라 하자. 마찬가지로 점 $B’$, $C’$, $D’$, $E’$도 정의한다. 이때 다음을 증명하라. \[ 2\le \frac{S_{A’B’C’D’E’}}{S_{ABCDE}}\le 3. \] 여기서 $S_X$는 $X$의 넓이를 뜻한다.
2012 미국수학올림피아드 5번문제
평면 위에 삼각형 $ABC$와 점 $P$가 있다고 하자. 점 $P$를 지나는 직선 $\gamma$를 기준으로 직선 $PA$, $PB$, $PC$를 대칭시켜 얻은 직선들이 각각 직선 $BC$, $CA$, $AB$마 만나는 점을 각각 $A’$, $B’$, $C’$이라 하자.이떄 $A’$, $B’$, $C’$은 한 직선 위에 있음을 증명하라.