원 $C_1$이 원 $C_2$의 내부에 있으며 점 $A$에서 내접하고 있다. 원 $C_2$의 중심을 $O$라 하자. 원 $C_1$ 위의 점 $P$가 있어, $P$에서 원 $C_1$에 그은 접선이 $O$를 지난다. 반직선 $OP$가 원 $C_2$와 만나는 점을 $Q$라 하고, 점 $A$를 지나는 원 $C_1$의 접선과 직선 $OP$의 교점을 $R$이라 하자. 원 $C_2$의 반지름의 길이는 9이며 $PQ=QR$일 때, 선분 $OP$의 길이를 구하여라. 단, $XY$는 선분 $XY$의 길이를 뜻한다.
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2014 일본수학올림피아드 예선 2번문제
정8각형이 있어 각 꼭지점에 1 이상 8 이하의 정수를 하나씩 쓴다. 이 때, 다음 두 조건을 만족시키도록 쓰는 경우의 수를 구하여라. 단, 회전하거나 뒤집어서 일치하더라도 다른 경우로 생각한다.
(1) 써진 수는 전부 서로 다르다.
(2) 인접한 두 꼭지점에 써진 수는 서로 소이다.
2014 일본수학올림피아드 예선 3번문제
$10!$의 모든 양의 약수 $d$에 대해 $\frac{1}{d+\sqrt{10!}}$을 모두 더한 값을 계산하여라.
2014 일본수학올림피아드 예선 4번문제
원주 위에 6개의 점 $A,B,C,D,E,F$가 이 순서로 놓여져 있고, 선분 $AD,BE,CF$가 한 점에서 만난다. $AB=1,BC=2,CD=3,DE=4,EF=5$라 할 때, 선분 $FA$의 길이를 구하여라. 단, $XY$는 선분 $XY$의 길이를 뜻한다.
2014 일본수학올림피아드 예선 5번문제
$a+b+c=5$를 만족하는 모든 음 아닌 정수 $(a,b,c)$에 대해 $\binom{17}{a} \cdot \binom{17}{b} \cdot \binom{17}{c}$을 모두 더한 값을 계산하여라. 단, 해답은 연산자 없이 정확한 수치로 구해야 한다.
2014 일본수학올림피아드 예선 6번문제
두 칠판 $A,B$가 있어, 각각의 칠판에 2 이상 20 이하의 서로 다른 정수가 몇 개 써있다. $A$에 써있는 수와 $B$에 써있는 수를 하나씩 뽑으면, 그 두 수는 반드시 서로 소가 된다고 한다. 이 때, $A$에 써진 정수의 개수와 $B$에 써진 정수의 개수의 곱의 최댓값을 구하여라.