2013 루마니아 TST2 1번문제

임의의 양의 정수 $n$에 대해 $\lfloor na\rfloor$가 $\lfloor nb\rfloor$의 약수가 되게 하는 서로 다른 양의 실수 $a$, $b$가 있다고 하자. 이때 $a$, $b$ 둘 다 정수임을 증명하라. 단, $\lfloor x\rfloor $는 $x$보다 크지 않은 가장 큰 정수이다.
(출처)

2013 제26회 한국수학올림피아드 최종시험 5번문제

서로 소인 양의 정수 $a$, $b$가 주어져 있다. 정수 수열 $(a_n)$과 $(b_n)$은
\[ (a+b\sqrt 2)^{2n}=a_n+b_n \sqrt 2\]를 만족하는 수열이라고 하자. 다음 조건을 만족하는 소수 $p$를 모두 구하여라:
(조건) 정수 $b_n$이 $p$의 배수가 되는 $p$ 이하의 양의 정수 $n$이 존재한다.
(2013년 3월 24일, 4시간 30분)