2015 제28회 한국수학올림피아드 최종시험 2번문제

내심이 $I$인 삼각형 $ABC$의 내접원이 변 $BC$, $CA$, $AB$와 각각 점 $D$, $E$, $F$에서 접한다. 삼각형 $IAB$, $IAC$의 외심을 각각 $O_1$, $O_2$라 하고, 삼각형 $ABC$의 외접원과 직선 $EF$의 두 교점을 $P$, $Q$라 하자. 삼각형 $DPQ$의 외심이 직선 $O_1O_2$ 위에 있음을 보여라.

2014 영국수학올림피아드 2라운드 4번문제

삼각형 $ABC$ 내부에 점 $P$가 있다. 직선 $AP$가 삼각형 $ABC$의 외접원과 만나는 $A$ 아닌 점을 $A’$라 하고 비슷한 방식으로 $B’$, $C’$를 정의하자. 삼각형 $BCP$, $CAP$, $ABP$의 외심을 각각 $O_A$, $O_B$, $O_C$라 하자. 삼각형 $B’C’P$, $C’A’P$, $A’B’P$의 외심을 각각 $O_A’$, $O_B’$, $O_C’$이라 하자. 이때 세 직선 $O_AO_A’$, $O_BO_B’$, $O_CO_C’$은 한 점에서 만난다는 것을 증명하라.

2013 중국여자수학올림피아드 7번문제

점 $T$에서 외접하는 두 원 $O_1$, $O_2$가 있다. 원 $O_1$에 내접하는 사각형 $ABCD$가 있다. 직선 $DA$와 직선 $CB$가 원 $O_2$와 각각 점 $E$, $F$에서 접한다고 한다. 각 $ABF$의 각이등분선이 $EF$와 만나는 점을 $N$이라 하자. 원 $O_1$의 원호 $AT$가 직선 $FT$와 점 $M(\neq A,T)$에서 만난다고 한다. 이때 $M$이 삼각형 $BCN$의 외심임을 증명하라.
(2013년 8월 13일, 4시간 30분 동안 4문제, 중국 저장성, 출처)