$a$를 양의 정수라 하자. 충분히 큰 정수 $n$에 대해 다음이 성립함을 증명하여라.
무한하게 펼쳐진 모눈종이에서 $n$개의 칸을 골라 검게 칠한다. 이 때, $a \times a$의 칸 내에 정확히 $a$개의 칸이 검게 칠해져있는 경우의 수를 $K$라 한다. $K$의 최댓값은 $a(n+1-a)$이다.
단, 충분히 큰 정수 $n$에 대해 성립한다는 것은, 어떤 정수 $N$이 존재하여 임의의 $n \geq N$에 대해 성립함을 뜻한다.
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2014 일본수학올림피아드 예선 6번문제
두 칠판 $A,B$가 있어, 각각의 칠판에 2 이상 20 이하의 서로 다른 정수가 몇 개 써있다. $A$에 써있는 수와 $B$에 써있는 수를 하나씩 뽑으면, 그 두 수는 반드시 서로 소가 된다고 한다. 이 때, $A$에 써진 정수의 개수와 $B$에 써진 정수의 개수의 곱의 최댓값을 구하여라.
2014 일본수학올림피아드 예선 8번문제
어떤 자리수도 0이 아닌 1000자리의 양의 정수 $m$과, $m$ 이하의 양의 정수 $n$에 대해, $[\frac{m}{n}]$에 등장하는 0인 자리수의 개수의 최댓값을 구하여라. 단, 실수 $r$에 대해 $r$ 이하의 최대의 정수를 $[r]$로 표현한다.
2014 일본수학올림피아드 본선 3번문제
$n$을 양의 정수라 하자. 어떤 2명의 학생도 서로 친구이거나 친구가 아니거나 둘 중의 하나인 학교에서, 다음 조건을 만족시키는 양의 정수 $a,b$의 합의 최솟값을 $N$이라 하자.
(1) 같은 팀 안의 어떤 2명도 서로 친구가 되도록, 학생들을 $a$개의 팀으로 나눌 수 있다.
(2) 같은 팀 안의 어떤 2명도 서로 친구가 아니도록, 학생들을 $b$개의 팀으로 나눌 수 있다.
학생의 수가 $n$인 학교에 대해서 $N$의 최댓값을 구하여라. 단, 학생을 팀으로 나눌 때, 어떤 학생도 정확히 한 개의 팀에 소속되도록 한다.
2011 루마니아 수학 마스터 6번문제
$2011 \times 2011$ 모양의 칸에 숫자들 $1,2,\cdots,2011^2$이 한 칸에 하나씩 써 있다. 이제 왼쪽 변과 오른쪽 변을 붙이고, 위쪽 변과 아래쪽 변을 붙여 토러스처럼 만들자. (토러스는 도넛의 표면과 같은 모양이다.) 어떻게 숫자들을 칸들에 써넣더라도 서로 인접한 두 칸이 있어 그들에 쓰인 수의 차이가 최소 $M$이 되게 하는 양의 정수 $M$의 최댓값을 구하여라. (두 칸 $(x,y),(x’,y’)$가 인접하는 것은 $x=x’$이고 $y-y’ \equiv \pm 1\text{ (mod 2011)}$이거나 $y=y’$이고 $x-x’ \equiv \pm 1\text{ (mod 2011)}$일 때이다.)
2012 미국 TST 4번문제
한 고등학교에 2010명의 학생과 100개의 교실이 있다고 한다. 모든 학생들이 이 교실들 중 하나를 선택해 들어가 있었다고 하자. 매 분마다, 모든 학생들이 한 교실에 있지 않는 한, 누군가가 한 교실에서 그 교실보다 학생 수가 작지 않은 다른 교실로 이동한다. 이러한 시행들이 $M$분 후에 완료된다고 할 때, $M$의 최댓값을 구하여라.
(2011년 12월 15일, 출처)