2017 루마니아 수학 마스터 2번문제

다음 조건을 만족하는 모든 양의 정수 $n$을 구하여라.

(조건) 차수가 $n$ 이하인 임의의 정수계수 모닉다항식 $P$에 대해, \[P(x_1) + P(x_2) + \cdots + P(x_k) = P(x_{k+1})\]을 만족하는 어떤 양의 정수 $k\leq n$와 $k+1$개의 서로 다른 정수 $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_{k+1}$이 존재한다.

단, 모닉다항식이란 최고차항의 계수가 1인 다항식이다.

1995 미국수학올림피아드 4번문제

$q_0, q_1, q_2, \dots$ 는 다음 두 조건을 만족하는 정수들의 무한수열이다.
(i) $m > n \geq 0$ 에 대해, $m-n$ 은 $q_m-q_n$ 을 나눈다.
(ii) 모든 $n$에 대하여 $|q_n| < P(n)$ 을 만족하는 다항식 $P$가 존재한다. 모든 $n$에 대하여 $q_n = Q(n)$ 인 다항식 $Q$가 존재함을 증명하여라.