2017 제78회 William Lowell Putnam 수학경시대회 A1

집합 $S$는 아래 세 조건을 만족시키는 양의 정수들의 집합 중 가장 작은 것이다.

(a) $2$는 $S$의 원소이다.

(b) $n^2$이 $S$의 원소이면 $n$ 또한 $S$의 원소이다.

(c) $n$이 $S$의 원소이면, $(n+5)^2$ 또한 $S$의 원소이다.

$S$에 속하지 않은 양의 정수들은?

(집합 $S$가 가장 작다는 뜻은 $S$가 그러한 성질을 갖는 다른 모든 집합의 부분집합이라는 뜻이다.)

2017 제78회 William Lowell Putnam 수학경시대회 A3

두 실수 $a<b$가 있다. 두 연속함수 $f:[a,b]\to(0,\infty)$가 $\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^b g(x)\,dx$이지만, $f \neq g$이라고 한다. 각각의 양의 정수 $n$에 대하여 \[I_n = \int_a^b \frac{(f(x))^{n+1}}{(g(x))^n}\,dx\]이라고 정의하자. 이때 $I_1, I_2, I_3, \dots$는 증가수열이며 $\lim_{n \to \infty} I_n = \infty$임을 보여라.

2017 제78회 William Lowell Putnam 수학경시대회 A4

총 $2N$명의 학생이 있는 학급에서 퀴즈 시험을 보았으며, 가능한 점수는 $0$, $1$, $\ldots$, $10$점 중 하나였다. 각각의 점수는 적어도 한 번 이상 나왔고, 평균은 정확히 $7.4$였다. 이때 이 학급을 학생 $N$명씩 두 그룹으로 잘 나누어서 각 그룹의 학생들의 성적 평균이 정확히 $7.4$가 되게 할 수 있음을 보여라.

2017 제78회 William Lowell Putnam 수학경시대회 A5

정수 $1$부터 $n$까지 적힌 $n$장의 카드가 있다. 이 카드를 잘 섞어서 수가 보이지 않게 쌓아두었다. 세 사람 $A$, $B$, $C$가 $A$부터 시작하여 $A$, $B$, $C$, $A$, $\ldots$ 순으로 돌아가며 카드 중에 하나를 임의로 뽑는다. (이때 남아있는 카드 중 각 카드를 뽑을 확률은 동일하다.) 카드를 하나 뽑으면 그 카드와 함께 그 카드에 적힌 수보다 큰 수를 가진 카드를 모두 빼서 버리고 남은 카드는 다시 잘 섞어둔다. 정수 $1$이 적힌 카드를 뽑는 사람이 나올때까지 게임을 계속하며 $1$을 뽑은 사람이 게임을 이긴다.

세 사람 각각에 대하여, 그 사람이 이길 확률이 가장 높게 될 $n$이 있으며 그러한 $n$이 얼마든지 커질 수 있음을 보여라.

2017 제78회 William Lowell Putnam 수학경시대회 A6

정이십면체의 30개 변 각각에 $1$, $2$, $3$, $\ldots$, $30$의 번호를 붙여서 구분하기로 하였다. 각 변을 빨강, 흰색, 파랑색 중 하나로 칠하되, 삼각형 모양의 면 $20$개 모두 두 변은 색이 같고 다른 한 변은 색이 다르게 칠하고자 한다. 이렇게 칠하는 방법의 수는 얼마인가?