2012 국제수학올림피아드

2012 국제수학올림피아드 2번문제

정수 $n\ge 3$에 대하여 양의 실수 $a_2$, $a_3$, $\ldots$, $a_n$이 $a_2a_3\cdots a_n=1$을 만족한다. 다음 부등식이 성립함을 보여라.
\[ (1+a_2)^2 (1+a_3)^3 \cdots (1+a_n)^n > n^n . \]

(2012년 7월 10일 아르헨티나 Mar del Plata)

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One thought on “2012 국제수학올림피아드 2번문제”

  1. $k=2,3,\cdot \cdot \cdot ,n$ 에 대해 산술-기하 평균 부등식에 의해
    $ (1+a_k)^k = \{ (k-1) {{1}\over{k-1}} +a_k \} ^k \geq \{ k \sqrt[k]{{a_k}\over{(k-1)}^{k-1}} \}^k ={{k}^k \over (k-1)^{k-1} } a_k $
    가 성립한다. 등호는 일 때 성립한다.

    따라서
    $\prod_{k=2}^{n}(1+a_k)^k \geq \prod_{k=2}^{n}{{k}^k \over (k-1)^{k-1} } a_k = n^n \prod_{k=2}^{n}a $a_k = { {1} \over {k-1}}$_k= n^n$

    이다. 이 때 등호가 성립하려면 모든 $k=2,3,\cdot \cdot \cdot ,n$ 에 대해
    $a_k = { {1} \over {k-1}}$ 이어야 하는데, 그러면 $\prod_{k=2}^{n}a_k =1$ 이 성립하지 않는다. 따라서 등호는 성립할 수 없다.

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