집합 $X=\{1,2,\ldots,n\}$와 $k\in X$가 주어져있다. 모든 $x\in X$에 대해 $f^{(j)}(x)\le k$가 되는 정수 $j\ge 0$가 존재하는 함수 $f:X\to X$의 수는 정확히 $k\cdot n^{n-1}$임을 증명하라. (여기서 $f^{(j)}$란 함수 $f$를 $j$번 합성한 것이다. 즉 $f^{(0)} (x)=x$이며 $f^{(j+1)}(x)=f(f^{(j)}(x))$이다. )