양의 실수 $x,y,z$ 가 식 $x+y+z=1$ 을 만족할 때, 다음 부등식이 성립함을 보여라.
\[ \frac{(1+xy+yz+zx)(1+3x^3+3y^3+3z^3)}{9(x+y)(y+z)(z+x)}\geq\left(\frac{x \sqrt{1+x}}{\sqrt[4]{3+9x^2}} + \frac{y \sqrt{1+y}}{\sqrt[4]{3+9y^2}} + \frac{z \sqrt{1+z}}{\sqrt[4]{3+9z^2}} \right) ^2 \]