$a_1 = a_2 = a_3 = 1$ 이고 $a_{n+1}a_{n-2} – a_na_{n-1} = 2$ ($n \geq 3$) 으로 정의된 수열 $(a_n)$이 있다. 모든 $n \geq 1$ 에 대해 $a_n$은 자연수임을 증명하여라.