(KAIST 수학문제연구회와 xMO 까페의 번역 지원을 받았습니다.)

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$AB=20$, $AC=21$, $BC=29$ 인 삼각형 $ABC$에서, 변 $BC$ 위에 $BD=8$, $EC=9$ 인 점 $D$, $E$를 잡았다. $\angle DAE$의 크기를 구하여라.

(1) 한 그룹의 사람들이 어떤 파티에 참석했다. 각 사람은 그 그룹에서 최대 3명의 다른 사람을 알고, 서로 모르는 두 사람은 그 그룹에서 동시에 아는 사람이 반드시 있다. 이 사람들은 최대 몇 명인가?
(2) 추가적으로 이 그룹에 서로 아는 세 사람이 있음을 안다면, 이 사람들은 최대 몇 명인가?

다음을 만족하는 양의 정수해 $(p,q,n)$을 모두 구하여라. 단, $p$와 $q$는 소수이다.\[ p(p+3) + q(q+3) = n(n+3)\]

$a_1 = a_2 = a_3 = 1$ 이고 $a_{n+1}a_{n-2} – a_na_{n-1} = 2$ ($n \geq 3$) 으로 정의된 수열 $(a_n)$이 있다. 모든 $n \geq 1$ 에 대해 $a_n$은 자연수임을 증명하여라.

$0 < a, b, c < 1$ 에 대해 다음 부등식을 증명하고 등호조건을 구하여라.\[ \frac a{1-a} + \frac b{1-b} + \frac c{1-c} \geq \frac{3 \sqrt[3]{abc}}{1 - \sqrt[3]{abc}}\]

$3 \times n$ 격자판이 다음과 같이 채워져있다. 첫 번째 행에는 1에서 $n$까지의 수가 오름차순으로 있고, 두 번째 행은 첫행을 적당한 $i$에 대해 $i$번 회전시킨 $i+1, \ldots, n, 1, 2, \ldots, i-1, i$ 꼴로 되어있다. 세 번째 행에도 1부터 $n$까지의 수가 적당한 순서로 들어있는데, 각각의 열의 세 수를 합한 값은 모두 같다고 한다. 이런 식으로 수를 배치하는 것이 가능한 $n$은 어떤 값들인가? 그런 모든 $n$에 대해, 가능한 서로 다른 배치방법의 수를 각각 구하여라.

$n$은 다음을 만족하는 서로 다른 네 소수 $a$, $b$, $c$, $d$의 곱이다.
(i) $a+c=d$
(ii) $a(a+b+c+d) = c(d-b)$
(iii) $1 + bc + d = bd$
$n$을 구하여라.

모든 유리수 $x$, $y$에 대해 다음을 만족하는 함수 $f : \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}$ 를 모두 구하여라.\[ f(x + f(y)) = y + f(x)\]

$\alpha = 2+\sqrt3$ 일 때, 음 아닌 모든 정수 $n$에 대해 $\alpha^n – [\alpha^n] = 1 – \alpha^{-n}$ 임을 증명하여라.

삼각형 $ABC$의 세 변의 길이는 정수이고, 내접원이 변 $BC$, $AC$와 각각 점 $D$, $E$에서 접한다. $|AD^2 – BE^2| \leq 2$ 이면 $AC = BC$ 임을 보여라.