음 아닌 장수들의 수열 $a_1, a_2, \dots, a_{1997}$ 이 $i + j \leq 1997$ 인 모든 $i, j \geq 1$ 에 대해 다음을 만족한다. \[ a_i + a_j \leq a_{i+j} \leq a_i + a_j + 1 \] 모든 $1 \leq n \leq 1997$ 에 대해 $a_n = \lfloor nx \rfloor$ ($nx$ 이하의 가장 큰 정수) 를 만족하는 실수 $x$가 존재함을 보여라.