칠판에 정수 $1$, $2$, $3$, $\ldots$, $2016$이 적혀있다. 칠판에서 두 수를 고른 후 그 두 수를 지우고 대신 그 둘의 평균을 쓸 수 있다. 예를 들어 $1$과 $2$를 지운 후 $1.5$를 쓰거나, $1$과 $3$을 지우고 대신 (두번째) $2$를 쓸 수 있다. 이런 작업을 2015번 하면 칠판에는 수가 하나만 남게 된다.
(a) 마지막 수가 $2$가 되게 하는 방법이 존재함을 보여라.
(b) 마지막 수가 $1000$이 되게 하는 방법이 존재함을 보여라.