2016년 2월.

문제출처: http://cms.math.ca/Competitions/CMO/archive/exam2016.pdf

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칠판에 정수 $1$, $2$, $3$, $\ldots$, $2016$이 적혀있다. 칠판에서 두 수를 고른 후 그 두 수를 지우고 대신 그 둘의 평균을 쓸 수 있다. 예를 들어 $1$과 $2$를 지운 후 $1.5$를 쓰거나, $1$과 $3$을 지우고 대신 (두번째) $2$를 쓸 수 있다. 이런 작업을 2015번 하면 칠판에는 수가 하나만 남게 된다.
(a) 마지막 수가 $2$가 되게 하는 방법이 존재함을 보여라.
(b) 마지막 수가 $1000$이 되게 하는 방법이 존재함을 보여라.

열 개의 실수 변수 $v_1$, $v_2$, $\ldots$, $v_{10}$에 관한 아래 $10$개의 식을 생각하자.\[v_i=1+\frac{6v_i^2}{v_1^2+v_2^2+\cdots+v_{10}^2}\quad {(i=1,\ldots,10)}.\]이 모든 식을 만족시키는 10개 실수의 순서쌍 $(v_1,v_2,\ldots,v_{10})$을 모두 구하여라.

무한히 많은 정수 $n$에 대해 $P(P(n)+n)$이 소수가 되는 정수 계수 다항식 $P(x)$를 모두 찾아라.

[용암인간과 벼룩] $A\lt B\lt 2A$인 세 양의 정수 $A$, $B$, $F$가 있다. 수직선의 0 위에 벼룩이 있다. 벼룩은 오른쪽으로 $A$칸 혹은 $B$칸 뛰어갈 수 있다. 벼룩이 뛰기 전에는 용암인간은 $A$개의 연속한 양의 정수 $\{m+1,m+2,\ldots,m+A\}$로 구성된 구간을 유한개 골라서 그 구간들 내에 들어있는 모든 수에 대응되는 수직선 지점마다 용암을 놓는다. 이 구간들을 고를때는 아래 세 조건을 동시에 만족시켜야 한다.
(i) 서로 다른 두 구간은 서로 겹치지 않으며 붙어있지도 않다.
(ii) 어느 두 구간을 잡더라도 그 사이에 있는 용암이 없는 양의 정수가 $F$개 이상 있다.
(iii) $F$보다 작은 정수에는 용암이 없다.
용암인간이 어떻게 용암을 넣더라도 벼룩이 잘 뛰어서 용암을 만나지 않고 계속 갈 수 있을 $F$의 최솟값이 $F=(n-1)A+B$임을 보여라. 단, $n$은 $\frac{A}{n+1}\le B-A\lt \frac{A}{n}$인 양의 정수이다.

예각삼각형 $ABC$의 점 $A$에서 변 $BC$로 내린 수선의 발을 $D$, 점 $B$에서 변 $CA$에 내린 수선의 발을 $E$라 하고 두 선분 $AD$, $BE$의 교점을 $H$라 하자. 선분 $AB$의 중점을 $M$이라 하고 삼각형 $DEM$과 $ABH$의 외접원이 만나는 두 점을 $P$, $Q$라 하자. 단, 직선 $CH$ 기준으로 $A$ 쪽에 있는 점을 $P$라 하자. 이떄 직선 $ED$, $PH$, $MQ$가 삼각형 $ABC$의 외접원 위에 있는 한 점에서 만남을 보여라.