변의 길이가 1인 정육면체 모양의 상자 $4^3$개를 쌓아서 만들어진 정육면체가 있다. 각 상자 안에 정수가 들어있다. 매번 한 상자를 골라서 그 상자에 면을 맞대고 있는 이웃 상자에 들어있는 정수들을 모두 1증가시키는 시행을 생각하자. 처음 시작할 때 어떤 정수들이 들어있는지와 무관하게 시행을 반복하여 모든 상자에 들어있는 값이 $3$의 배수가 되도록 할 수 있는가?