양의 정수 $n$에 대하여 $n\times n$ 행렬 중 $(i,j)$항의 값이 $i+1$이 $j$의 배수이면 $1$, 아니면 $0$이 되는 행렬을 $M(n)$이라 하자.

이때 $M(n)$이 역행렬을 가질 필요충분조건이 $n+1$이 $1$이 아닌 완전제곱수를 약수로 갖지 않는 것임을 보여라.